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双曲线的简单几何性质
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1 F2|),两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
:
双曲线的标准方程:
根据双曲线的四个性质,能较为准确地把
画出来吗?

根据椭圆的四个性质,能较为准确地把
y2
9
+
=1 画出来吗?
x2
16
根据双曲线的四个性质,能较为准确地把
y2
9
-
=1 画出来吗?
x2
16
能
不能
通过列表描点,能把双曲线的顶点及附近的点,
比较精确地画出来,
但双曲线向何处伸展就不很清楚。
我们能较为准确地画出曲线
这是为什么?
因为当双曲线伸向远处时,
它与x轴、y轴无限接近。
此时x轴、y轴叫做曲线渐近线
y =
x
1
问:双曲线
a2
x2
有没有渐近线呢?
如果有,该是怎样的直线?
在研究双曲线范围时,由双曲线的
标准方程可解出:
当x无限增大时,
就无限接近零,
也就是说,这时双曲线
与直线
无限接近
y2
b2
-
=1
x2
a2
b
a
y =±
x
直线
恰好是过实轴端点
A1、A2
虚轴端点B1、B2,作平行于
坐标轴的直线 x=±a
y=±b 所成的矩形
的两条对角线。
如何证明双曲线上的点沿着曲线
向远处运动时,与渐近线越来越接近呢?
证法一:
设M(x0,y0 )为第一象限内双曲线
y2
b2
-
=1
x2
a2
上的任一点,
M
M(x0,y0 )到直线
bx -ay=0 的距离为:
点M向远处运动,
x0随着增大,
|MQ|就逐渐减小,
M点就无限接近
直线
b
a
y =
x
M
N
证法2:设N为渐近线上与M(x0,y0 )有相同
的横坐标的点,于是
b
a
yN =
x0
|MN| =yN - y0
点M向远处运动,
x0随着增大,
|MN|就逐渐减小,
|MQ|也就逐渐减小,
Q
M点就无限接近
直线
b
a
y =
x