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双曲线
知识梳理
1. 双曲线的定义
第一定义:当时, 的轨迹为双曲线;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为以为端点的两条射线
2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程
图像
性
质
焦点
焦距
范围
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴
实轴长2a,虚轴长2b
离心率
渐近线
:
与双曲线-=1有相同渐近线的双曲线系方程可设为-=λ(λ≠0),若λ>0,则双曲线的焦点在x轴上;若λ<0,则双曲线的焦点在y轴上.
等轴双曲线的渐近线方程为,离心率为.;
,△AOB中,|OA|=a,|AB|=b,|OB|=c,tan∠AOB=, △OF2D中,|F2D|=b.
4. 注意定义中“陷阱”
问题1:已知,一曲线上的动点到距离之差为6,则双曲线的方程为
点拨:一要注意是否满足,二要注意是一支还是两支
,
5. 注意焦点的位置
问题2:双曲线的渐近线为,则离心率为
点拨:当焦点在x轴上时,,;当焦点在y轴上时,,
第一部分
热点考点题型探析
考点1 双曲线的定义及标准方程
题型1:运用双曲线的定义
[例1] 已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1、C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是( )
=0 B. -=1(x≥) C. -=1 D. -=1或x=0
解析:如右图,动圆M与两圆C1、C2都相切,有四种情况:①动圆M与两圆都相外切,②动圆
M与两圆都相内切;③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切. ④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切. 在①②的情况下,显然,动圆圆心M的轨迹方程为x=0;在③的情况下,设动圆M的半径为r,则
|MC1|=r+,|MC2|=r-
故得|MC1|-|MC2|=2;在④的情况下,同理得|MC2|-|MC1|=2
由③④得|MC1|-|MC2|=±2
根据双曲线定义,可知点M的轨迹是以C1(-4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线,且a=,c=4,b=c2-a2=14,其方程为-=1. 由①②③④可知选D.
跟踪练****br/>、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2的面积为( )
A. C.
解析: ①
又②
由①、②解得
直角三角形,
故选B。
2. 如图2所示,为双曲线的左焦点,双曲线上的点与关于轴对称,则的值是( )

[解析] ,选C
3. P是双曲线左支上的一点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为
2c,则的内切圆的圆心的横坐标为( )
(A) (B) (C) (D)
[解析]设的内切圆的圆心的横坐标为,
由圆的切线性质知,
题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ] 已知双曲线C与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.
[解析] 解法一:设双曲线方程为-==2.
又双曲线过点(3,2),∴-=1.
又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8. ∴所求双曲线的方程为-=1.
解法二:设双曲线方程为-=1,将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1.
跟踪练****br/>4. 已知双曲线的渐近线方程是,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为;
[解析]设双曲线方程为,
当时,化为,,
当时,化为,,
综上,双曲线方程为或
5. 以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为______________.
[解析] 抛物线的焦点为,设双曲线方程为,
,双曲线方程为
6. 已知点,,,动圆与直线切于点,过、与圆相切的两直线相交于点,则点的轨迹方程为
A. B.
C.(x > 0) D.
[解析],点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,选B
考点2 双曲线的几何性质
题型1 求离心率或离心率的范围
[例3] 已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为.
【解题思路】这是一个存在性问题,可转化为最值问题来解决
[解析](方法1)由定义知,又已知,解得,,在中,由余弦定理,得,要求的最大值,即求的最小值,当时,.
(方法2) ,
双曲线上存在一点P使,等价于
(方法3)设,由焦半径公式得,∵,∴,∴,∵,∴,∴的最大值为.
【名师指引】(1)解法1用余弦定理转化,解法2用定义转化,解法3用焦半径转化;
(2)点P在变化过程中,的范围变化值得探究;
(3)