第二章 平差数学模型与最小二乘原理.ppt

第二章平差数学模型与最小二乘原理

本章介绍测量平差的基本概念,简要地给出基本平差方法的数学模型,为以后各章系统学差理论打好基础。最后介绍最小二乘原理,这是测量平差法所遵循的准则。
第一节测量平差概述
第二节测量平差的数学模型
第三节函数模型的线性化
第四节参数估计与最小二乘原理
2-1 测量平差概述
在测量工程中,最常见的是要确定某些几何量的大小。例如,为了求定一些点的高程而建立了水准网,为了求定某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包含点间的高差、点的高程等元素,后者包含角度、边长、边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素都是几何量,以下统称这些网为几何模型。
为了确定一个几何模型,并不需要知道该模型中所有元素的大小,而只需要知道其中部分元素的大小就行了,其它元素可以通过它们来确定。例如:
(1)在图2-1的△ABC中,为了确定它的形状(相似形),只要知道其中任意2个内角的大小就行了,如
等。它们都是同一类型的元素(角度)。
(2)为了确定ΔABC的形状和大小(全等形),只要知道其中任意的2角1边、2边1角或3边的大小就行了,如、、, 、、, 、、, …,等等。

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(3)在图2-2的水准网中,为了确定A、B、C、D4点之间高度的相对关系,只要知道其中3个高差就行了,如、、或、、或、、…等等。它们是同一类型的元素(高差)。
能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素,简称必要元素;必要元素的个数用t来表示。对于上述三种情况,分别是t=2,t=3和t=3。对于第二种情况,3个元素中除了角度还至少要包含一个边长,没有边长仍然只能确定其形状;
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而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数,而且要考虑以它的类型。由此可知,当某个几何模型给定之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型,t只与几何模型有关,与实际观测量无关。
对于任一几何模型,它的t个必要元素之间必要不存在函数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余(t-1)个元素的函数。例如,对于(1)中的情况,若以和作为必要元素,则与间无函数关系;又如在(2)情况中,选、、,则+ + =180º ,三者之间存在函数关系,就不能说t=3,实际必要元素只选了两个,而漏选了一个。因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量。
在一个几何模型中,除了t个独立量以外,若再增加一个量,则必然产生一个相应的函数关系式。仍以(2)情况中,必要量选为、、,若增加一个量,则存在+ + =180º ,若再增加一个量,则有
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由此可知,一个几何模型的独立量个数最多为t个,除此之外,增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式,这种函数关系式,在测量平差中称为条件方程。
在测量工程中,为了求得一个几何模型中各量的大小就必须进行观测。如果总共观测了该模型中n个量的大小,若观测个数少于必要元素的个数,即n<t,显然它无法确定该模型,即出现了数据不足的情况;若观测了t个独立量,n=t,则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量,故不存在任何条件方程,在这种情况下,如果观测结果中含有粗差甚至错误,都将无法发现,在测量工作中是不允许这样做的。为了能及时发现粗差和错误,并提高测量成果的精度,就必须使n>t,若令
r=n-t (2-1-1)
式中n为观测值个数,t称为必要观测数,r称为多余观测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。
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一个几何模型如果有r个多余观测,就产生r个条件方程。由于观测值不可避免地存在观测误差,由观测值组成上述条件方程必不能满足,仍以(2)中情况为例,若观测了角度L1、L2、L3和边长S1、S2,考虑观测误差,有

因r=n-t=5-3=2,可组成2个条件方程为
(2-1-2)

(2-1-3)
若用观测值组成上述两个条件方程,则不能成立,即
(2-1-4)
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造成条件方程不闭合,或者说存在闭合差,例如
(2-1-4)式中的,就是该三角形角度条件方程的闭合差。
由于观测不可避免地存在偶然误差,当n>t时,几何模型中应该满足r=n-t个条件方程,实际存在闭俣差而并不满足,如何调整观测值,即对观测值合理地加上改正数,使其达到消除闭合差的目的,这是测量平差的主要任务。
一个测量平差问题,首先要由观测值和待求量间组成数学模型,然后采用一定的平差原则对待求量进行估计,这种估计要求是最优的,最后计算和分析成果的精度。
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2-2 测量平差的数学模型
一、条件平差法
二、间接平差法
三、附有参数的条件平差法
四、附有限制条件的间接平差法
五、平差的随机模型
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在日常生活和科学技术领域中,时常见到许多模型,一般可将其分为两大类,一类是将实物尺寸放大