线性代数3-5.ppt

点评:第一章大作业
计算
第n列的第n个元素由两项组成,所以我们可以首先将第n个元素分成两项再降阶。
技巧:
解:
rk+rk+1
k=n-1,
n-2,
…,2,1
递推
按最后一行展开
+Dn-1
称向量线性表示.
线性表示
线性相关
则称
可以推出k1=k2=…=km=0,
如果由
线性无关
回顾:1 基本概念
存在一组不全为零的数k1, k2,…,km使
则称向量组
线性相关
2 判别
方法一:利用定义
证明: 设有一组数k1,k2,…,km使:
例设向量组
线性无关,且
线性无关,得线性方程组:
它的系数行列式:
所以齐次线性方程组只有零解,
例设1, 2 ,3 线性无关,证 1 = 1+2 ,2 = 2 +3 , 3 = 3+ 1线性无关.
证设有一组数x1,x2,x3,,使 x1 1 + x22 +x33 = 0,
即 x1 (1+2 ) + x2 (2 +3 ) + x3 (3+ 1) =0.
即(x1+x3 ) 1 + (x1 +x2 ) 2 + (x2+ x3) 3 =0.
因为1, 2 ,3 线性无关,所以有
所以x1=x2=x3=0. 故1, 2 , 3 线性无关.
2 判别
方法一:利用定义
方法二: 利用线性方程组
例判断
的线性相关性.
解设有一组数x1,x2,x3,使
由克拉默法则,方程组有非零解,
所以向量组线性相关.
方法三:利用性质
性质5 两个非零向量线性相关的充要条件是成比例
性质6 向量组A: 1, 2, …, s 可由向量组B:1, 2, …, t线性表示,且向量组A线性无关,则s≤t.
解
因为已知线性无关,
所以也线性无关,
而线性相关,
能由线性表示.
例设向量组线性相关,
能否由线性表示
1
a
v
方法四:利用矩阵的秩
线性无关
【】设有nm型矩阵:
则A的列向量组:
即A的秩等于A的列向量的个数.