2017 2018学年高中数学第一章立体几何初步1.6垂直关系学案北师大版必修2.doc

第1课时垂直关系的判定
[核心必知]

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.

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符号语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直

(1)半平面:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.
(2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.
(3)二面角的记法.
如图,记作:二面角α­AB­β.
(4)二面角的平面角.
以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,其中平面角是直角的二面角叫作直二面角.
如图二面角α-l-β,若有
①O∈l.
②OAα,OB β.
③OA⊥l,OB⊥l.
则∠AOB就叫作二面角α-l-β的平面角.

(1)两个平面互相垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)两个平面互相垂直的判定定理:
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如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直
[问题思考]
,则这条直线和这个平面垂直吗?为什么?
提示:,a1∥a2∥a3∥…,且a1,a2…α,.
?
提示:(1)定理中的两条“相交直线”这一条件不可忽视,因为它体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”能够相互转化的数学思想.
(2)两条相交直线可以确定这个平面,虽然两条平行直线也可以确定这个平面,但由于平行线的传递性,直线垂直
:
aα,bα,a∥b,l⊥a,l⊥b,但l不垂直于α.
,过顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触),折痕AD与桌面垂直吗?
提示:不一定垂直,只有当AD⊥BC时,AD才与桌面所在的平面垂直.
讲一讲
,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,:PC⊥平面BEF.
[尝试解答] 证明:如图,连接PE,EC,
在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD, AE=DE,
∴PE=CE,即△PEC是等腰三角形.
又F是PC的中点,∴EF⊥PC.
又BP==2=BC,F是PC的中点,∴BF⊥PC.
又BF∩EF=F,∴PC⊥平面BEF.
(1)直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理,要注意定理中的两个关键条件:①面内的两条相交直线;②都垂直.
(2)要证明线面垂直,先证线线垂直,而证线线垂直,通常又借助线面垂直,它们是相互转化的.
练一练
,Rt△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明:(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中,AD=DC=BD.
又∵SB=SA,SD=SD,
∴△ADS≌△BDS.
∴SD⊥BD.
又AC∩BD=D,
∴SD⊥平面ABC.
(2)∵BA=BC,D为AC中点,
∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥平面ABC,
∴SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.
∴BD⊥平面SAC.
讲一讲
,过S引三条长度相等但不共面的线段SA,SB,SC,且∠ASB=∠ASC=60°,
∠BSC=90°.
求证:平面ABC⊥平面BSC.
[尝试解答] 证明:法一:取BC的中点D,
连接AD、SD.
∵∠ASB=∠ASC=60°,且SA=SB=SC,∴AS=AB=AC.
∴AD⊥BC.
又△ABS是正三角形,△BSC为等腰直角三角形,∴BD=SD.
∴AD2+SD2=AD2+BD2=AB2=AS2.
由勾股定理的逆定理,知AD⊥SD.
又∵SD∩BC=D,∴AD⊥平面BSC.
又AD 平面ABC,∴平面ABC⊥平面BSC.
法二:同法一证得AD⊥BC,SD⊥BC,
则∠ADS即为二面角A­BC­S的平面角.
∵∠BSC=90°,令SA=1,则SD=,AD=,∴