2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1讲学案：第三章 3．2　导数的运算.doc

常见函数的导数
问题1:函数f(x)=x,f(x)=x3的导数?
提示:(1)∵f(x)=x,∴==1,
∴当Δx→0时,f′(x)=1.
(2)∵f(x)=x3,
∴==3x2+3xΔx+(Δx)2,
∴当Δx→0时,f′(x)=3x2.
问题2:函数f(x)=x-1,f(x)=x-2的导数?
提示:(1)∵f(x)=,
∴==,
当Δx→0时,f′(x)=-=-x-2.
(2)∵f(x)=,
∴==,
当Δx→0时,f′(x)=-=-2x-3.
问题3:由问题1、问题2,能否得到f(x)=xα的导数?
提示:f′(x)=αxα-1

(1)(kx+b)′=k(b为常数);
(2)c′=0(c为常数);
(3)x′=1;
(4)(x2)′=2x;
(5)′=-.

(1)(xα)′=αxα-1(α为常数);
(2)(ax)′=axln_a(a>0,且a≠1);
(3)(logax)′=logae=(a>0,且a≠1);
(4)(ex)′=ex;
(5)(ln x)′=;
(6)(sin x)′=cos_x;
(7)(cos x)′=-sin_x.
基本初等函数的导数公式可分为以下五类:
第一类为常数函数,C′=0(C为常数),可记为常数函数的导数为0;
第二类为幂函数,(xn)′=n·xn-1(注意幂指数n可推广到全体实数);
第三类为三角函数,可记为正弦函数的导数为余弦函数,余弦函数的导数为正弦函数的相反数;
第四类为指数函数,y′=(ax)′=axln a,当a=e时,ex的导数是(ax)′的一个特例;
第五类为对数函数,y′=(logax)′=,也可记为(logax)′=·logae,当a=e时,ln x的导数是(logax)′的一个特例.
利用公式求导数
[例1] 求下列函数的导函数:
(1)y=2x; (2)y=log2x;
(3)y=; (4)y=2sin cos .
[思路点拨] 解答本题,可根据所给函数,选择合适的导数公式求导,不具备基本初等函数特征的函数,应先变形,然后求导.
[精解详析] (1)y′=(2x)′=2x·ln 2;
(2)y′=(log2x)′=;
(3)y′=()′=(x)′=·x-=;
(4)y′=(2sin cos)′=(sin x)′=cos x.
[一点通] 求简单函数的导函数有两种基本方法:
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;
(2)用导数公式求导,可简化运算过程、,将题中函数的结构进行调整,、分式转化为指数式,利用幂函数的求导公式求导.
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(1)若y=3,则y′=0;
(2)(sin )′=cos ;
(3)(-)′=;
(4)若y=x,则y′=1.
解析:(1)正确;(2)sin =,而()′=0,不正确;对于(3),(-)′=(-x-)′=x-=,正确;(4)正确.
答案:(2)
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(1)f(x)=logx; (2)f(x)=2-x;
(3)y=log2x2-log2x; (4)y=-2sin .
解:(1)f′(x)=(logx)′==.
(2)∵2-x=x,
∴f′(x)=′=xln=-xln 2.
(3)∵y=log2x2-log2x=log2x,
∴y′=(log2x)′=.
(4)∵y=-2sin
=2sin
=2sincos=sin x,
∴y′=(sin x)′=cos x.
求切线的方程
[例2] 已知曲线方程y=x2,求:
(1)曲线在点A(1,1)处的切线方程;
(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程.
[思路点拨] (1)点A在曲线上,故直接求导数,再求直线方程;(2)B点不在曲线上,故解答本题需先设出切点坐标,再利用导数的几何意义求出斜率,进而求出切点坐标,得到切线的方程.
[精解详析] (1)y′=2x,当x=1时,y′=2,故过点A(1,1)的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)∵B(3,5)不在曲线y=x2上,
∴可设过B(3,5)与曲线y=x2相切的直线与曲线的切点为(x0,y0).
∵y′=2x,
∴当x=x0时,y′=2x0.
故切线方程为y-x=2x0(x-x0).
又∵直线过B(3,5)点,
∴5-x=2x0(3-x0).
即x-6x0+5=0.
解得x0=1或x0=5.
故切线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.
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