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2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1讲学案:第三章 3.4 导数在实际生活中的应用.doc


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、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题,从而可以用导数来解决.
:
解决生活中的优化问题的思路:
(1)审题:阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论.
(2)建模:利用数学知识建立相应的数学模型.
(3)解模:把数学问题转化为函数求解.
(4)检验.
面积、容积的最值
[例1] 用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图所示),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
[思路点拨] 设出所截正方形的边长为x,则该容器的底面边长和高均可用x表示,得到容积关于
x的函数,用导数法求解.
[精解详析] 设容器的高为x cm,
容器的体积为V(x) cm3.
则V(x)=x(90-2x)(48-2x)
=4x3-276x2+4 320x(0<x<24).
V′(x)=12x2-552x+4 320=12(x2-46x+360)
=12(x-10)(x-36)(0<x<24).
令V′(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).
当0<x<10时,V′(x)>0,V(x)是增函数;
当10<x<24时,V′(x)<0,V(x)是减函数.
因此,在定义域(0,24)内函数V(x)只有当x=10时取得最大值,其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19 600(cm3).
即当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积是19 600 cm3.
[一点通] 解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积、容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,,那么根据实际意义,该极值点也是最值点.
,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高为________cm.
解析:设该漏斗的高为x cm,
则底面半径为 cm,其体积为
V=πx(202-x2)=π(400x-x3)(0<x<20),则V′=π(400-3x2).
令V′=0,解得x1=,x2=-(舍去).
当0<x<时,V′>0;
当<x<20时,V′<0,
所以当x=时,V取得最大值.
答案:
,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 (单位:cm),能使矩形广告面积最小?
解:设广告的高和宽分别为x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为x-20,,其中x>20,y>(x-20)·=18 000,
由此得y=+25.
广告的面积S=xy=x(+25)=+25x,
∴S′=+25=+25.
令S′>0,得x>140,
令S′<0,得20<x<140.
∴函数在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减,
∴S(x)的最小值为S(140).当x=140时,y=175.
即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500,故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小.
用料最省问题
[例2] 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+),所有桥墩都视为点,.
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
[思路点拨] 解答本题可先根据题目条件写出函数关系式,再利用导数方法求最值.
[精解详析] (1)设需新建n个桥墩,
则(n+1)x=m,即n=-1.
所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x
=256+(2+)x
=+m+2m-256.
(2)由(1)知,
f′(x)=-+mx-=(x-512).
令f′(x)=0,得x=512,所以x=64.
当0<x<64时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;
当64<x<640时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数.
所以f(x)在x=64处取得最小值.
此时n=-1=-1=9.
故需新建9个桥墩才能使y最小.
[一点通] 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的

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  • 时间2018-03-17