高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2间接证明课堂导学案苏教版选修1 2.doc

间接证明
课堂导学
三点剖析
各个击破
一、证明数学中的基础命题宜用反证法
【例1】求证:质数有无穷多.
证明:如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下:
p1,p2,…,pk,令q=p1p2…pk+1.
q总是有质因数的,但我们可证明任何一个pi(1≤i≤k),由pi除尽q,及pi除尽p1,p2,…pk,可得到pi除尽(q-p1p2…pk),即pi除尽1,,p2,…,,p2,…,pk是全体质数的假定相矛盾.
所以质数有无穷多.
温馨提示
用反证法证明结论是B的命题,其思路是:假定B不成立,则B的反面成立,然后从B的反面成立的假定出发,利用一些公理\,定理\,定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,从而判断“假设B不成立”.
类题演练1
证明:1,,2不能为同一等差数列的三项.
证明:假设1,,2为某一等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,
则1=-md,2=+nd,
其中m,n为某两个正整数,由上面两式消去d,得
2m+n=(m+n) ,
因为n+2m为有理数,而(m+n)为无理数,所以n+2m≠(n+m) ,
因此假设不成立,即1,,2不能为同一等差数列的三项.
变式提升 1
a、b是平面内的两条直线,求证:它们最多有一个交点.
证明:假设直线a、b至少有两个交点A和B,则通过不同的两点有两条直线,这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾,所以平面内的两条直线最多有一个交点.
二、某些数学问题的证明可用反证法
【例2】
已知a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.
证法一:假设三同时大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,三相乘,
得:(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c>.又(1-a)a≤()2=.
同理,(1-b)b≤,(1-c)c≤.
以上三相乘得
(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c>矛盾,故结论得证.
证法二:假设三同时大于.
∵0<a<1,
∴1-a>0.
.
同理,.
三相加得矛盾,
∴原命题成立.
温馨提示
要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,一般讲,如“是”的反面是“不是”,“有”的反面是“没有”,“等”的反面是“不等”,“成立”的反面是“不成立”,“有限”的反面是“无限”,以上这些都是相互否定的字眼,较为易找,应注意以下的否定:“都是”的反面为“不都是”,即“至少有一个不是”(不是“都不是”);“都有”的反面为“不都有”,即“至少一个没有”(不是“都没有”);“都不是”的反面为“部分是或全部是”,即“至少有一个是”(不是“都是”);“都没有”的反面为“部分有或全部有”,即“至少一个有”(不是“都有”).
类题演练2
命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )
A. 有两个内角是直角
B. 有三个内角是直角
C. 至少有两个内角是直角
D. 没有一个内角是直角
解析:“最多只有一个”即“只有一个或没有”,它的反面应是“有两个或有三个”.
答案: