蒙特卡洛方法在材料学中的应用.ppt

蒙特卡洛方法
蒙特卡罗方法又称统计模拟(Statistical Simulation)方法,它用随机数对问题的概率模型进行数值模拟从而获得问题的解。
Nicholas Metropolis (1915-1999)
Monte-Carlo, Monaco
是由Metropolis在二次世界大战期间提出的:Manhattan计划,研究与***有关的中子输运过程;
Monte Carlo是摩纳哥(monaco)的首都,该城以赌博闻名
蒙特卡洛方法的由来
掷针实验(蒲丰实验)
为了求得圆周率π值,在十九世纪后期,有很多人作了这样的试验:将长为2l的一根针任意投到地面上,用针与一组相间距离为2a( l<a)的平行线相交的频率代替概率P,再利用准确的关系式:
求出π值
其中N为投计次数,n为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰问题。
一些人进行了实验,其结果列于下表:
实验者
年份
投计次数
π的实验值
沃尔弗(Wolf)
1850
5000

斯密思(Smith)
1855
3204

福克斯(Fox)
1894
1120

拉查里尼(Lazzarini)
1901
3408

设针投到地面上的位置可以用一组参数(x,θ)来描述,x为针中心的坐标,θ为针与平行线的夹角,如图所示。
针在平行线间的位置
任意投针,就是意味着x与θ都是任意取的,但x的范围限于[0,a],夹角θ的范围限于[0,π]。在此情况下,针与平行线相交的数学条件是x ≤ l · sinθ
蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时,可以用计算机模拟的方法产生抽样结果,根据抽样计算统计量或者参数的值;随着模拟次数的增多,可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。
蒙特卡洛方法的原理
蒙特卡洛的模拟步骤
、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致
2 .根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。
3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。

、计算,求出问题的随机解。
5. 统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。
[0,1]区间均匀分布的随机数
是蒙特卡罗方法研究的一个重要内容。如果得到[0,1]区间均匀分布的随机数,则任何区间[a,b]之内的随机数都可以得到:
随机数的要求:
1,足够多个随机数能遍布[0,1]范围,非周期性,遍历性。
2,在[0,1]中每个小区间出现的机会相等,等概率性。
并不是一个简单的问题。()函数可以在低精度的情况下使用。