【2017年整理】拉格朗日插值多项式和牛顿均差逼近.doc

拉格朗日插值多项式和牛顿均差逼近
一、拉格朗日插值多项式
算法描述
拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法,也是一种最常用的逼近工具。设f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,又设x1,x2,…,xn是[a,b]上的个互不相同的点,可以先构造基函数(0,1,2……,n)如下:
(1)
且满足(2)
显然(3)
满足(3)的插值多项式可表示为
(4)
由的定义,知(5)
我们称为插值多项式。
若引入记号, (6)
容易求得(7)
于是公式(4)可改写成(8)
插值余项与误差估计
若在[a,b]上连续,在(a,b)内存在,节点,是满足(3)的插值多项式,对任何,
插值余项(9)
余项表达式只有在f(x)高阶导数存在时才能应用,在(a,b)内的具体位置一般不能给出,如果我们能求出,那么插值多项式逼近f(x)的截断误差限为(10)
二、牛顿均差插值
算法描述
利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式,公式结构紧凑,在理论分析中甚为方便,但当插值节点增减时全部插值基函数(0,1,2……,n)均要随之变化,整个公式也将随之变化,给实际计算带来不便,而牛顿很好的解决了这个问题。在这里我们先引入差商的概念:设有函数f(x),为一系列互不相等的点,称(11)
为f(x)关于点的一阶差商也称均差,类似于高等导数的定义,称一阶差商的差商(12)
为f(x)关于的二阶差商,一般的,称
(13)
为f(x)关于点的k阶差商。具有如下基本性质:
 各阶差商具有线性性,若,则对任意正整数k,都有(14)
‚ 若f(x)是n次多项式,则一阶差商是n-1次多项式。若f(x)在[a,b]上存在n阶导数,且则n阶差商与导数之间存在如下关系。
ƒ k阶差商可表示成{}的线性组合,即(15)
其中
牛顿插值公式: 根据均差的定义,可得
, (16)
(17)
……
(18)
只要把后一式带入前一式就得到
(19)
其中(20)
(21)
满足插值条件次数不超过n,我们称它为牛顿均差插值多项式。(21)式为余项和拉格朗日余项相同。
三、本实验完成的任务

这是书上的一个例题,已知,,,用线性插值及抛物插值计算的值并估计截断误差。
根据上面公式(5),(20)编程可得如下结果
插值阶数
插值形式
拉格朗日插值
牛顿均差插值
线性插值


抛物线插值


实现程序如下:
clc;clear;
chooseinitial=input('选择默认值0,手动输入数据1:');
if(chooseinitial) count=input('请输入x[i],y[i]的组数,不得超过20组:');
for i=1:count x(i)=input('请输入第i组x的值:'); y(i)=input('请输入第i组y的值:');end
t=input('请输入t的值: ');%获得变量t的值
else format long x=[ ]; format long y=[