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第四讲简单线性规划
高二数学组宋帅
一、二元一次不等式表示的平面区域
O
x
y
在平面直角坐标系中,以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x,y)|x+y-1=0}是经过点(0,1)和(1,0)的一条直线l,那么以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y)|x+y-1>0}是
什么图形?
1
1
x+y-1=0
结论:二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c<0表示的是另一侧的平面区域。
x+y-1>0
x+y-1<0
二、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法
O
x
y
1
1
x+y-1=0
x+y-1>0
x+y-1<0
由于对在直线ax+by+c=0同
一侧所有点(x,y),把它的坐标
(x,y)代入ax+by+c,所得的实
数的符号都相同,故只需在这条
直线的某一侧取一特殊点(x0,y0)
以ax0+by0+c的正负的情况便可
判断ax+by+c>0表示这一直线
哪一侧的平面区域,特殊地,当
c≠0时常把原点作为此特殊点
二元一次不等式表示平面区域的范例
例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。
O
x
y
3
6
注意:把直线画成虚线以表示区域不包括边界
2x+y-6=0
二元一次不等式表示平面区域的范例
例2 画出不等式组

表示的平面区域。
O
x
y
3
5
x-y+5=0
x+y=0
x=3
三、简单线性规划
问题:设z=2x+y,式中变量满足下列条件:
求z的最大值与最小值。
线性规划
问题:
设z=2x+y,式中变量满足
下列条件:
求z的最大值与最小值。
目标函数
(线性目标函数)
线性约
束条件
线性规划
线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
可行解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解;
可行域:由所有可行解组成的集合叫做可行域;
最优解:使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
可行域
2x+y=3
2x+y=12
(1,1)
(5,2)
线性规划步骤
第1步:在平面直角坐标系中作出域;
第2步:在可行域内找到最优解所对点;
第3步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。
线性规划
例1 解下列线性规划问题:
求z=2x+y的最大值和最小值,使式中x、y满足下
列条件:
解线性规划问题的一般步骤:
第一步:在平面直角坐标系中作出可行域;
第二步:在可行域内找到最优解所对应的点;
第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。
2x+y=0
2x+y=-3
2x+y=3
答案:当x=-1,y=-1时,z=2x+y有最小值-3.
当x=2,y=-1时,z=2x+y有最大值3.