第二章 复变函数.doc

第二章复变函数:
第二节:初等函数
1、指数函数:
我们要把实指数函数的定义扩充到整个复平面上,使得复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件:
(1);
(2)f(z)在整个复平面C上解析;
(3),有;
则可以证明,,事实上,由(3)及(1)有
令其中A(y)及B(y)是实值函数,所以
显然,及满足上面的条件。若则有
因此,定义复指数函数,为
由此有Euler公式:
;
指数函数的基本性质:
(4),;
(5)指数函数在整个复平面内有定义并且解析,,指数函数是实指数函数在复平面上的解析推广;
(6)Euler公式:
;
(7)从定义得
,
利用Euler公式,得到复数的指数表示式:若复数z的模为r,幅角为,则有;
(8)指数函数是周期为得周期函数;
(9)指数函数的几何映射性质:
由于指数函数有周期,所以研究当z在带形
中变化时,函数的映射性质。设w的实部及虚部分别为u及v。
设z从左到右描出一条直线L:,那么,于是从0(不包括0)增大到,而保持不变,因此w描出一条射线(不包括),L和上的点之间构成一个双射;
让从0(不包括0)递增到,那么直线L扫过,而相应的射线按反时针方向从w平面上的正实轴(不包括它)变到正实轴(不包括它)。
因此,确定从带形B到成w平面除去原点及正实轴的一个双射。
显然,函数把直线在B上的一段映射成w平面上的一个圆除去u轴上的一点。
同理可以证明,函数把任何带形
双射为w平面除去原点及射线argw=a;特别地,它确定从带形到w平面除去原点及正实轴的一个双射。
y
x
u
v
2、多值函数导引:辐角函数
因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的,所以我们先研究辐角函数:
w=Argz ()
它本身不是一般意义下的初等函数。
当时,w=Argz函数有无穷个不同的值:
其中argz表示Argz的主值:
我们也把Argz的任意一个确定的值记为argz。
为了研究方便起见,我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数,每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支。
考虑复平面除去负实轴(包括0)而的的区域D。显然,在D内,Argz的主值argz()是一个单值连续函数,也是一个单值连续函数。
因此,w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数,它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。
上述区域D可以看成是把复平面沿负实轴割开而得到,负实轴称为一条割线,它是区域的D边界;我们可以把这条割线看作有不同的上、下沿。函数w=Argz的每个单值连续分支可以扩充成为直到负实轴(除去0)的上、下沿连续的函数,扩充的函数值称为上述单值连续分支在负实轴上、下沿所取的值。
显然,同一单值连续分支在负实轴上沿及下沿所取的值不同,例如w=Argz的主值分支w=argz在负实轴上沿及下沿分别取值及。
下面研究在较一般区域内把幅角函数w=Argz分解成单值连续分支的问题。
设为复平面上一点。在的充分小的邻域内(若,则此邻域不含0),任作一条闭简单连续曲线C围绕,即使属于C的内区域。在C上任取一点,并且确定w=Argz在的值为。
让一点从出发按某一个方向沿C连续变动,最后回到,设argz相应地从连续变动到,则如果,那么;否则。
其次,考虑在扩充复平面上的情况。在无穷远点的充分“小”邻域内,即在内,其中为充分大的正数,任作一条闭简单连续曲线C围绕,即使圆包含在C的内区域。这时在C上在C上任取一点,并且确定w=Argz在的值为。
让一点从出发按某一个方向沿C连续变动,最后回到时,argz连续变动所得得值也要变化。
因此,对于幅角函数w=Argz,0和无穷远点是特殊的两点。在复平面上,取连接0和无穷远点的一条无界简单连续曲线作为割线,得到一个区域的,其边界就是曲线。在内,任一条简单连续闭曲线C既不围绕0,也不围绕无穷远点,因此,当z沿这条曲线变动一周时,argz连续变动所得得值没有变化。
1)当是负实轴时,已经指出在内可以分解成无穷个单值连续分支;
2)当是任意一条连接0和无穷远点的无界简单连续曲线时,有完全相同的结论:设,取Argz在的值为。设,作连接及的一条简单连续曲线。设当z从沿连续变动到时,argz从连续变动到,则可以证明(应用数学分析中证明线积分与路径无关类似的方法),只与,及有关,与曲线的选取无关,这样,从Argz在的值出发,可以确定Argz在内任一其它点处的值;因此,我们得到在内一个单值连续分支,记作;它是Argz在内的一个单值连续分支,因此Argz在内的所有值可以分解成无穷多个单值连续分支,记为
3)Argz在C内上任一点(非原点)的各值之间的联系:任取,并通过作一条简单连续曲线围绕