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数形结合的教学及学习滴点.doc


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数形结合的教学与学****滴点
蒋萍莉
数学研究的对象只有两个“元素”,一是数,二是形。前者抽象,便于思考,后者形象,便于直觉。前者因精确定量而见深刻,后者因宏观定性而显直观。各自的优点又恰好是对方缺点。于是,实现它们之间的各扬其长,互补其短,则形成了数学学科的这种如此重要的思想:数形结合思想。所谓数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义,又揭示其几何直观,使数量关系与空间形式和谐地结合起来。数形结合思想,就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合。通过对图形的认识、数形转化,以提高思维的灵活性、形象性、直观性,使问题化难为易,化抽象为具体。
形是数的驱体,数是形的灵魂。而且“数”“形”只能结合,不能分离,有暂时的“分家”,那也只是研究时的一些“偏重”。如数学命题人在命制数形结合题时,又特意将数、形分割开来,不是隐去数,就是藏去形,借以“为难”考生,实为考察考生的数形结合的能力。作为考生,这时就应当反其道而行之,有形去找数,有数去找形。
当然,我们不难知道,人脑对图和文字、数的处理是有差异的,特别表现在速度方面、信息量的获得方面。所以在教学过程中教师应充分利用人脑的这个功能。要有意识地沟通数、形之间的联系,帮助学生逐步树立起数形相结合的观点,并使这一观点扎根到学生的认知结构中去,成为运用自如的思想观念和思维工具。下面现示几个平时教学中所零星拾掇的案例。
案例一:不等式
(1)不等式探讨:若不等式在(0,)内恒成立,求a的取值范围。
【解析】在同一坐标平面内作的图像,如图,由题意可知必有0<a<1,进而设x=,图像上的点为A,两曲线的交点为P,要使y2>y1在(0,)内恒成立,必须且只需P点在A的右边,而P点与A点重合时,a=,根据对数曲线随底数的改变而变化的规律得
≤a<1。
【点评】若无图的参与难会有结果。
(2) 不等式的证明:已知
,求证:。
证:,
,在直角坐标系中,
设,由图知,
(三角形两边之和
大于第三边,当O点在线段PC上取等号)
【点评】有比这还妙的方法吗?
案例二:函数求值(或值域)问题
(1)已知函数f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|,则f(x)的值域是( )A.[-1,1] B.[-,1] C.[-1,] D.[-1,-]
【解析】若sin x≥cos x,得f(x)=cos x;
若sin x≤cos x,得f(x)=sin x. 如图:
不妨取x∈[-,],则当
x∈[-,]时,f(x)=sin x∈[-1,];
当x∈[,]时,f(x)=cos x∈[-1,];
当x∈[,]时,f(x)=sin x∈[-1,-].
综合知f(x)∈[-1,],选C。
【点评】本题是有数缺形,所以要补形。图形直观,一目了然,胜过千言万语,这就是形的长处。
x
y
o
1
1
-1
2
-1
-2
3
B(-1,3)
A(0,2)
(2)求函数的值域。
解:y=
表示:平面直角坐标系中X轴上的点P(X,0)到两定点
A(0,2)、B(– 1,3)的距离之和。
如图,有

(3)已知x,y,z,满足,求的值。
解:将条件转化为
构造出

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