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XB4 4线性方程组解的结构.ppt

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文档列表 文档介绍

§4 线性方程组的解的结构
一. 齐次线性方程组解的结构
二. 非齐次线性方程组解的结构
线性方程组理论包括:
齐次线性方程组解的结构
1. 解的存在唯一性条件(上章已解决)
2. 求解方法
(1) 初等变换法(上章)
(2) 克拉默法则(第一章, 仅对A为方阵适用)
3. 解的结构(本章)
非齐次线性方程组解的结构
(理论意义大于计算意义)
一. 齐次线性方程组解的结构
性质1.
(1)
写成向量方程:
(2) 的解
称为解向量.
(2)
性质2.
记方程(2)的所有解之集为S ,
设S 的一个最大无关组为
()
则(2)的通解为
称() 为齐次方程组(1)的基础解系.
基础解系的求法: 初等变换法
无妨设
(P96)
利用通解
利用特解
得等价方程组:
(3)
得通解:
即为(1) 的基础解系.
取:
得:
基础解系的另一求法:
定理7.
例1. 求下述齐次线性方程组的基础解系与通解:
由上述讨论可得
由此定理可见:
(1) 当R(A) = n 时,
无基础解系.
(2) 当R(A) = r < n 时,
的基础解系含 n  r 个
向量
(P98 例12)
解:
得:
令
通解:
得基础解系:
说明: (1) 自由未知量取值不同得不同的基础解系,
通解形式也不同(见P99~P100)
(2) 非自由未知量的选取可灵活掌握. 例如
得:
令
通解:
得基础解系:
(见P100)
定理7 在理论证明中的应用举例
例2.
证: 设
则
即
故
(P101 例13)
(据定理7)
经验: 看到矩阵关系
想到矩阵方程 A X = O 有解 B
想到齐次方程
定理7

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