同济大学信号与系统第九章第3讲2 dft.ppt

一、有限长序列Z变换的抽样
若有限长序列x(n)的长度为N,其Z变换的表示式为:
若有限长序列满足绝对可和条件,则其收敛域包括单位圆在内,在单位圆上N个等间距点计算Z变换,令:
§9-5 离散傅里叶变换与Z变换的关系
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在Z平面单位圆上,取辐角为
的等间距的第k个点,计算其Z变换。因此,有限长序列的DFT可解释为它的Z变换在单位圆上的均匀抽样。
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时域抽样:
对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。
频域抽样:
对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得X(k)就是序列傅氏变换的采样。所以DFT就是频域抽样。
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由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位圆上N等份抽样,就得到X(k)。
一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为
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对X(k)进行反变换,并令其为xN(n) ,则
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是非周期序列x(n)的周期延拓,也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。
可见,由
得到的周期序列
其中
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当x(n)不是有限长时,无法周期延拓;
当x(n)的长度M,只有NM时,才能不失真的恢复信号,即

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(k)恢复X(Z)
序列x(n),(0nN-1)的Z变换为
(k)表达X(Z) -内插公式
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称作内插函数。
上式就是由X(k)恢复X(Z)的内插公式,其中
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