同济-高等数学-第三版(8.2) 第二节 偏导数.ppt

中国药科大学数学教研室杨访
第二节偏导数
本节概要
导数的意义实际是用自变量增量去度量函
数的增量,从而刻划出函数变化的快慢程度。
导数的讨论和应用对一元函数性质的研究有着
基本的重要性。在多元函数的研究中依然要借
助于函数的变化率来研究函数的性质,但由于
多元函数的自变量个数的增加,因变量与自变
自变量的关系较一元函数复杂得多,因而函数
的变化率问题的讨论也有了新的变化。

(1) 一元函数变化率问题研究方法的一般性
一元函数 y = f( x )的导数就是用自变量增量 x 去
度量函数增量 y ,以刻划函数变化的快慢程度,即
这种通过变化率来研究函数的
方法具有一般性,用变化率来讨
论多元函数的性质就产生多元
函数偏导数的概念。
1. 对函数变化率及增量的再认识
(2) 二元函数的变化率问题
设有二元函数 z = f( x ,y ),( x ,y )Df ,考察其在一
点 P0( x 0,y0 )处的变化率问题。
多元函数由于自变量个数
的增加,使得函数的增量及相应变
化率形式呈现出多样性。其中,可
以有一个自变量发生改变而其余自
变量不变的情形,也可有多个自变
量同时发生改变的情形。对于不同
的自变量的变化形式就有相应不同
的变化率的形式。
分析
仅 x 发生变化,而 y 保持不变
x: x 0  x 0 +  x,y: y = y0 .
此时函数 z = f( x ,y )在点 P0( x0 ,y0 )处的增量称为
关于 x 的偏增量,其形式及对应变化率记号为
 z x = f( x 0 +  x,y0 )- f( x 0 ,y0 ),
( x0 ,y0 )
( x 0 +  x, y0 )
仅 y 发生变化,而 x 保持不变
x: x = x 0,y: y = y0 +  y .
此时函数 z = f( x ,y )在点 P0( x0 ,y0 )处的增量称为
关于 y 的偏增量,其形式及对应变化率记号为
 z y = f( x 0 ,y0 +  y )- f( x 0 ,y0 ),
( x0 ,y0 )
( x 0, y0 +  y )
x、y 均发生变化
x: x = x 0 +  x,y: y = y0 +  y .
此时函数 z = f( x ,y )在点 P0( x0 ,y0 )处的增量称为
全增量,其形式及对应变化率记号为
 z = f( x 0 +  x ,y0 +  y )- f( x 0 ,y0 ),
( x 0 +  x,y 0 +  y )
(1) 二元函数在一点处的偏导数定义
设函数 z = f( x ,y )在点 P0( x0 ,y0 )的某一邻域内有
定义,当 y 固定在 y0 而 x 在 x 0 处有增量 x 时,相应地
函数有增量 z x = f( x 0 + x,y0 )- f( x 0 ,y0 ),如果以下
极限存在则称此极限
为函数 z = f( x ,y )在点 P0( x0 ,y0 )处对 x 的偏导数,
记作:
即有
2. 偏导数的定义
类似地,函数 z = f( x ,y )在点 P0( x0 ,y0 )处对 y 的
偏导数定义为
记作:
偏导数定义是构造性的,这种构造性定义实际也
给出了一种计算偏导数的方法,即通过求偏增量,算
比值,取极限三个步骤求出函数的偏导数。
偏导数所描述的仅仅是函数变化的局部变化率,
即对应于某一个自变量单独变化时所产生的函数变化
率。这一变化率通常并不对应于函数变化的实际过程,
但却可由此将函数的变化过程分解开来进行研究。
定义说明
偏导数定义的构造性
偏导数是局部变化率
(2) 二元函数偏导函数的概念
如果函数 z = f( x ,y )在区域 D 内的每一点 P( x ,y )
都有对 x 的偏导数,即
存在,则其定义了D 上的一个新的函数,即
称此函数为 f( x ,y )在区域 D 内对 x 的偏导函数。
同理,f( x ,y )在区域 D 内对 y 的偏导函数定义为