高中课程中数学易错题的举例解析.doc

高中数学易错题举例解析
高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略。也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,会经常出现错误。本文通过几个例子,剖析致错原因,希望能对同学们的学****有所帮助。加强思维的严密性训练。
●忽视隐含条件,导致结果错误。
【例1】(1) 设是方程的两个实根,则的最小值是
思路分析本例只有一个答案正确,设了3个陷阱,很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得:
有的学生一看到,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根,∴Þ
当时,的最小值是8;
当时,的最小值是18。
这时就可以作出正确选择,只有(B)正确。
(2) 已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围。
错解由已知得 y2=-4x2-16x-12,因此 x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+)2+
,
∴当x=-时,x2+y2有最大值,即x2+y2的取值范围是(-∞, ]。
分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制,丢掉了最小值。
事实上,由于(x+2)2+ =1 Þ (x+2)2=1- ≤1 Þ -3≤x≤-1,
从而当x=-1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1, ]。
注意有界性:偶次方x2≥0,三角函数-1≤sinx≤1,指数函数ax>0,圆锥曲线有界性等。
●忽视不等式中等号成立的条件,导致结果错误。
【例2】已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。
错解(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.
分析上面的解答中,两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab,第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=,显然,这两个条件是不能同时成立的。因此,8不是最小值。
事实上,原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4
= (1-2ab)(1+)+4,
由ab≤()2= 得:1-2ab≥1-=, 且≥16,1+≥17,
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时,等号成立),
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是。
●不进行分类讨论,导致错误
【例3】(1)已知数列的前项和,求
错误解法
错误分析显然,当时,。
错误原因:没有注意公式成立的条件是。
因此在运用时,必须检验时的情形。即:。
(2)实数为何值时,圆与抛物线有两个公共点。
错误解法将圆与抛物线联立,消去,
得①
因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得, 解之得
错误分析(如图2-2-1;2-2-2)显然,当时,圆与抛物线有两个公共点。
x
y
O
图2-2-2
x
y
O
图2-2-1
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时,得解之,得
因此,当或时,圆与抛物线有两个公共点。
思考题:实数为何值时,圆与抛物线,
有一个公共点;(2)有三个公共点;(3)有四个公共点;(4)没有公共点。
●以偏概全,导致错误
以偏概全是指思考不全面,遗漏特殊情况,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案,从而表现出思维的不严密性。
【例4】(1),求数列的公比.
错误解法,
。
错误分析在错解中,由,
时,应有。
在等比数列中,是显然的,但公比q完全可能为1,因此,在解题时应先讨论公比的情况,再在的情况下,对式子进行整理变形。
正确解法若,则有但,即得与题设矛盾,故.
又依题意Þ Þ ,即因为,所以所以解得
说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第(21)题,不少考生的解法同错误解法,根据评分标准而痛失2分。
(2)求过点的直线,使它与抛物线仅有一个交点。
错误解法设所求的过点的直线为,则它与抛物线的交点为
,消去得整理得
直线与抛物线仅有一个交点,解得所求直线为
错误分析此处解法共有三处错误:
第一,设所求直线为时,没有考虑与斜率不存在的情形,实际上就是承认了该直线的斜率是存在的,且不为零,这是不严密的。
第二,题中要求直线与抛物线只有一个交点,它包含相交和相切两种情况,而上述解法没有考虑相切的情况,只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三,将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程,要考虑它的判别式,所以它的二次