第1章概率论基础2.ppt

随机(现象)事件;
概率和频率;
随机事件的交、并及对立事件和互斥事件;
概率的加法公式;

一、概率的统计定义
☞频率:设在 n 次试验中,事件 A 发生了m 次,则称为
事件A发生的频率。
☞频率的性质
ↂ非负性
ↂ规范性
ↂ可加性事件 A, B互斥,则
(注:可加性可推广到有限个两两互斥事件的和事件)
ↂ可加性→常数

☞频率稳定性的实例:
例:投一枚硬币观察正面向上(H)的次数
例:Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率, 发现各字母出现的频率不同:
试验者
总次数n
正面向上nH
频率fH
蒲丰
12000
6019

皮尔森
12000
6019

皮尔森
24000
12012


4049
2048

罗曼诺夫斯基
80640
39699

A: B: C: D: E: F: G:
H: I: J: K: L: M: N:
O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z:

以上结果表明:在相同条件下作重复实验时,对某一实验结果(事件A)具有如下特征:
☞其是否发生是随机的,事先无法确定;
☞其发生的频率又稳定的,稳定在一个常数附近;
☞一般讲,对实验的某一结果(事件A)出现的频率偏离这个常数很大的可能性虽存在,但实验次数越大,频率偏离这个常数的可能性越小。我们就称这个常数为这一结果(事件A)发生的概率。
例如:
我们称1/2这个常数是“投掷硬币,正面朝上”这一事件的概率;
从上个世纪以来,各国婴儿性别的统计资料表明,女婴的频率“稳定”在21/43附近。我们称21/43这个常数是“出生婴儿为女婴”这一事件的概率。

定义:在相同条件下重复进行的n次试验中, 事件A发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越小, 则称p为事件A的概率, 记作P(A)
二、概率的古典定义
设随机试验 E 具有下列特点:
基本事件的总数有限;
每个基本事件发生是等可能的。
则称 E 为古典概型(或等可能概型)。古典概率的计算公式
其中

例将一枚均匀的硬币连掷 2 次, 求掷出1 次正面的概率
☞解(Ⅰ):此样本空间为
基本事件总数n=3,事件A
“掷出 1 次正面”有1个样本点,
即m=1,故
☞解(Ⅱ):此样本空间为:
基本事件总数:
n=4 . 事件A
“掷出 1 次正面”由 2 个样本点( 正, 反) ,( 反, 正) 组成,即,故
其中的数字表示掷出正面的次数

☞结果的讨论:
解(Ⅰ)是错误的!
因为这里的样本点ω1、ω2、ω3已不是等可能出现的

例设P ( A ) = , P ( B ) = , 在何条件
下, P(AB) 取得最大(小)值?求最大(小)值.
解:a)由加法法则
故
因此
所以
b)

小概率事件
——若P(A)< 则称A为小概率事件
小概率原理
——一次试验中小概率事件一般是不会发生的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.

三、几何概率的定义
☞在某些情况中(如两个引例),可把实验中基本事件组中的每一个基本实验与某一个几何区域R中的点一一对应起来,这个区域可以是一段曲线(一维区域),或一个平面区域(二维区域)。这样在实验中某一事件A,就可与几何区域R中的子区域r表示了,,若几何区域的大小我们称为这个区域的“测度”,则
子区域r的测度
P(A)=
区域R的测度
R样本
空间
r事件