7.5圆的方程.ppt

要点梳理

在平面内,到的距离等于的点的
叫圆.
.

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中为圆心,
为半径.
§ 圆的方程
集合
圆心
半径
(a,b)
r
定点
定长

x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是
,其中圆心为,半径
r= .


确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为:
(1) ;
D2+E2-4F>0
根据题意,选择标准方程或一般方程

点和圆的位置关系有三种.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)
(1)点在圆上: ;
(2)点在圆外: ;
(3)点在圆内: .
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
(2) ;
(3) .
根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组
解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一
般方程
题型一求圆的方程
【例1】求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被
直线x-y=0截得的弦长为2 的圆的方程.
由条件可设圆的标准方程求解,也可设
圆的一般方程,但计算较繁琐.
解方法一设所求的圆的方程是
(x-a)2+(y-b)2=r2,
则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为,
∴r2=
题型分类深度剖析
思维启迪
即2r2=(a-b)2+14 ①
由于所求的圆与x轴相切,∴r2=b2. ②
又因为所求圆心在直线3x-y=0上,
∴3a-b=0. ③
联立①②③,解得
a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3,r2=9.
故所求的圆的方程是
(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.
探究提高求圆的方程,
一般式和标准式均有三个未知数,合理选择方程
形式可以减少运算量,若已知与圆的圆心和半径
有关的条件,应优先选择圆的标准形式.
【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求y-x的最大值和最小值;
(2)求x2+y2的最大值和最小值.
根据代数式的几何意义,借助于平面
几何知识,数形结合求解.
解圆的标准方程为(x-2)2+y2=3. [1分]
(1)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b
与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值, [ 3分]
此时解得b=-2± . [5分]
所以y-x的最大值为最小值为[7分]
思维启迪
题型二与圆有关的最值问题
(2)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由
平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交
点处取得最大值和最小值. [ 9分]
又圆心到原点的距离为[10分]
所以x2+y2的最大值是
x2+y2的最小值是[12分]
探究提高与圆有关的最值问题,常见的有以下几
种类型:(1)形如形式的最值问题,可转
化为动直线斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by形式的
最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形
如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点
到定点的距离的平方的最值问题.
知能迁移2 已知点P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1上
任意一点.
(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值
和最小值;
(2)求x-2y的最大值和最小值;
(3)求的最大值和最小值.
解(1)圆心C(-2,0)到直线3x+4y+12=0的
距离为
∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为
d+r= +1= ,最小值为d-r= -1= .