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8.1级数的概念和性质.ppt

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文档列表 文档介绍

无穷级数
无穷级数
无穷级数是研究函数的工具
表示函数
研究性质
数值计算
数项级数
幂级数
第八章
本质是无穷多个数求和的问题
1
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正
边形,
这个和逼近于圆的面积 S .
设 a0 表示
即
内接正三角形面积,
ak 表示边数
增加时增加的面积,
则圆内接正
第一节级数的概念和性质
2
引例2. (神秘的康托尔尘集)
把[0,1]区间三等分, 舍弃中
间的开区间
将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃
在中间的开区间,
如此反复进行这种“弃中”操作,
问丢弃部
分的总长和剩下部分的总长各是多少?
丢弃的各开区间长依次为
故丢弃部分总长
剩余部分总长
剩余部分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数
“一样多”,它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上,
人们称其为康托尔尘集.
0
1
3
1、级数的定义:
—(常数项)无穷级数
一般项
部分和数列
级数的部分和
如何定义无穷个数相加?
4
2、级数的收敛与发散:
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项.
显然
5
解
收敛
发散
例1
讨论等比级数(几何级数)
的收敛性.
6
2). 若
因此级数发散;
因此
n 为奇数
n 为偶数
从而
则
级数成为
不存在, 因此级数发散.
综上所述,
7
例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
所以级数(1) 发散;
技巧:
利用“拆项相消”求和
8
(2)
所以级数(2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用“拆项相消”求和
好处:可以计算
级数的和的值
9
解
练****br/>讨论无穷级数
的收敛性.
10

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