9.14正射影和三垂线定理(2).ppt

正射影和三垂线定理(2)
a
A
P
o
α
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个
平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
回顾三垂线定理
P
a
A
O
α
“一面四线”
三垂线定理
三垂线定理解题的关键:找三垂!
怎么找?
一找直线和平面垂直
二找平面的斜线在平面
内的射影和平面内的
一条直线垂直
三由线面垂直,线射垂直得出线斜垂直
P
A
O
a
α
例1、如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,连结BD1,
AC,CB1,B1A,求证:BD1⊥平面AB1C
∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD
又DD1⊥平面ABCD
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内,∴BD1⊥AC
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
而AB1, AC相交于点A且都在平面
AB1C内∴BD1⊥平面AB1C
证明:连结BD,
(请同学思考:如何证明BD1⊥AB1 )
连结A1B
三垂线定理
线射垂直
线斜垂直
P
A
O
a
α
P
A
O
a
α
平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直
平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直
三垂线定理的逆定理
?
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一
条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。
P
A
O
a
α
三垂线定理的逆定理
例 2 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,
那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知:∠BAC在平面内,点P,PE⊥AB,PF⊥AC,
PO⊥,垂足分别是E、F、O,PE=PF
求证:∠BAO=∠CAO
P

C
B
A
O
F
E
小结
三垂线定理及逆定理
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个
平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个
平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。
作业
P109 1
,
它的中心是O,边长为2cm,
OH⊥α,OH=4cm,求点H到
这个六边形顶点和边的距离。
H
O
A
B
C
D
补充
例3、一段笔直的道路旁有一条河,河对岸有电塔AB,高15m,只有测角器和皮尺作测量工具,不过河怎样求出电塔顶A与道路的距离?
解:在道边取一点C,
使BC与道边所成水平角等于90°,
再在道边取一点D,
使水平角CDB等于45°,
测得C、D的距离等于20m
B
A
C
90°
D
⌒
45°
三垂线定理