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小波去噪
一、小波去噪中信号阈值的估算
信号去噪是信号处理领域的经典问题之一。传统的去噪方法主要包括线性滤波方法和非线性滤波方法,如中值滤波和wiener滤波等。传统去噪方法的不是在于使信号变换后的熵增高、无法刻画信号的非平稳特性并且无法得到信号的相关性。为了克服上述缺点,人们开始使用小波变换解决信号去噪问题。
小波变换具有下列良好特性:
(1) 低熵性:小波系数的稀疏分布,使信号变换后的熵降低;
(2) 多分辨率特性:可以非常妤地刻画信号的非平稳特性,如边缘、尖峰、断点等;
(3) 去相关性:可取出信号的相关性,且噪声在小波变换后有白化趋势,所以比时域更利于去噪;
(4) 选基灵活性:由于小波变换可以灵活选择基函数,因此可根据信号特点和去噪要求选择适合小波。
小波在信号去噪领域已得到越来越广泛的应用。阈值去噪方法是一种实现简单、效果较好的小波去噪方法。阈值去噪方法的思想就是对小波分解后的各层系数中模大于和小于某阈值的系数分别处理,然后对处理完的小波系数再进行反变换,重构出经过去噪后的信号。下面从阈值函数和阈值估计两方面对阈值去噪方法进行介绍。

常用的阈值函数主要是硬阈值函数和软阈值函数。
(1)硬阈值函数。表达式为,,其中横坐标表示信号的原始小波系数,纵坐标表示阈值化后的小波系数。
(2)软阈值函数。表达式为,,其中横坐标表示信号的原始小波系数,纵坐标表示阈值化后的小波系数。
一般来说,硬阈值方法可以很好地保留信号边缘等局部特征,软阈值处理相对要平滑,但会造成边缘模糊等失真现象。为了克服上述缺陷,最近提出了一种半软阈值函数,。它可以兼顾软阈值和硬阈值方法的优点,其表达式为
其中。
在软阈值的基础上,可以对其改进使其具有更高阶,。可以看出它在噪声(小波系数)与有用信号(小波系数)之间存在一个平滑过渡区,更符合自然信号/图像的连续特性。其表达式为

Donoho在1994年提出了VisuShrink方法(或称统一阈值去噪方法)。它是针对多维独立正态变量联合分布,在维数趋向无穷时得出的结论,在最小最大估计的限制下得出的最优阈值。阈值的选择满足:

其中,是噪声标准方差,N是信号的长度。Donoho给出了证明这种估计在信号属于Besov集时,在大量风险函数下获得近似理想的去噪风险。Donoho的统一阈值方法在实际应用中效果欠理想,产生过扼杀现象,1997年Janse提出了基于无偏估计的阈值计算法。
风险函数定义为:。由于小波变换的正交性,风险函数可以同样在小波域中写成形式。
设,则
最后可得到风险函数的表达式:
其中是示性函数,为两数取小。于是,最佳的阈值选择可以通过最小化风险函数得到,即

MATLAB中实现了信号的阈值去噪,主要包括阈值获取和阈值去噪两方而。下面对它们进行说明。
二、小波去噪在MATLAB中的函数
1)阈值获取
MATLAB中实现信号阈值获取的函数有ddencmp、thselect、wbmpen和wdcbm,下面对它们的用法进行简单的说明。
Ddencmp的调用格式有以下三种
(1)[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1