3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示.doc

选修2-1 空间向量的正交分解及其坐标表示(教案)
【教学目标】
,理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示,而且这种表示是唯一的;
,会选择适当的基底来表示任一空间向量.
【重点】
空间向量的基本定理及其推论.
【难点】
空间向量基本定理唯一性的理解.

【创设情景】
平面向量基本定理的内容及其理解:
如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对
于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,
使.
【预****提纲】
(根据以下提纲,预****教材第 92 页~第 94 页)
:
,且有公共起
,设点为点在
,
在,所确定的平面上,存在实数,使得
.
而在所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对,使得
.
∴.
由此可知,如果是空间三个两两垂直的向量,那么,对于空间任一向量,存在一个有序实数组,使得
.
我们称为向量在上的分向量.
探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的微向量,能得出类似的结论吗?
:
如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在有序实数组,使得.
由此可知, 若三向量不共面,那么所有空间向量组成的集合就是
.
我们把叫做空间的一个基底,.
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用表示.
:
设为空间向量的一个单位正交基底,以公共起点为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
对于任意一个空间向量,一定可以把它平移,使它的起点与原点重合,,存在有序实数组,使得
.
我们把称作向量在单位正交基底下的坐标,记作.
【基础练****br/>【典型例题】
O
A/
C
M
E
D/
B/
A
D
B
例1 如图,在正方体中,,点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点,试分别用向量表示和
【审题要津】
解:;
.
【方法总结】
例2 如图,已知空间四边形,其对角线,分别是对边的中点,点在线段上,且,用基底向量表示向量
【审题要津】
解:

∴
【方法总结】

,A、B、C是平面上不共线的三点,若( -)·(+-2)=0,则DABC是( )


△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的( )

,=,且·=0,则四边形ABCD是( )
A. 矩形 B. 菱形
,,、的夹角为,则以,为邻边的平行四边形的一条对角线长为( )
A. B. C. D.
,