2011考研数学概率论与数理统计强化课程讲义全.doc

2011考研强化班概率论与数理统计讲义
第1讲随机事件和概率
知识网络图
重点考核点的分布
(1)样本空间与随机事件.
*(2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式).
*(3)条件概率与概率的乘法公式.
**(4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性).
**(5)全概公式与贝叶斯(Bayes)公式.
(6)伯努利(Bernoulli)概型.
各个考核点前面加“**”表示重点考核点;“*”表示次重点考核点;括号前没有标注的表示一般考核点(下同).
课上复****内容
预备知识
在复****概率论”之前,我们需要掌握“二值集合”、“组合分析中的几个定理”、“随机现象及其统计规律”和“微积分”等内容,下面将有关内容作一简单介绍:
二值集合
集合是一个不能给出数学定义的概念,尽管如此,.
集合通常用大写字母A,B,C表示,其元素用小写字母a,b,c表示.
设A是一个集合,如果a是A的元素,记作a∈A,用“1”表示这一隶属关系;如果a不是A的元素,记作aA(或aA),用“0”表示这一隶属关系.
因此,我们称这种集合为“二值集合”,在初等概率论中,我们只研究这样的集合.
有关二值集合的表示方法、基本性质在初等数学中已作过详细讨论,“相等”与“等价”概念以及集合分类情况作一简单介绍.
例1 设A={2,4,8},则集合A的所有子集是,{2},{4},{8},{2,4},{2,8},{4,8},{2,4,8}.注意,在考虑集合A的所有子集时,不要把空集和它本身忘掉.
设A,,BA,那么称集合A与B相等,记作
A=B.
很明显,含有相同元素的两个集合相等.
例2 设A={0,2,3},B={x|x为方程x3-5x2+6x=0的解},则A=B.
设A,,反之A的每一个元素对应于B的唯一的元素,那么就说在A和B的元素之间建立了一一对应关系,并称A与B等价,记作
A~B.
与自然数集N等价的任何集合,,(或可数个),并把有限个或可列个统称为至多可列个(或至多可数个).
例3 设A={a|a=2n,n∈N},B={b|b=n2+1,n∈N},则A~B.
由上面的讨论可以看出,集合的分类如下:
组合分析中的几个定理

定理1 设完成一件事有n类方法,只要选择任何一类中的一种方法,,第二类方法有m2种,……,第n类方法有mn种,并且这m1+m2+…+mn种方法里,任何两种方法都不相同,则完成这件事就有m1+m2+…+mn种方法.

定理2 设完成一件事有n个步骤,第一步有m1种方法,第二步有m2种方法,……第n步有mn种方法,并且完成这件事必须经过每一步,则完成这件事共有m1m2…mn种方法.

定义1 从n个不同元素中,每次取出m个元素,按照一定顺序排成一列,称为从n个元素中每次取出m个元素的排列.
定理3 从n个不同元素中,有放回地逐一取出m个元素进行排列(简称为可重复排列),共有nm种不同的排列.
例4 袋中有N个球,其中M个为白色,从中有放回地取出n个:
①N=10,M=2,n=3;②N=10,M=4,n=3.
考虑以下各事件的排列数:
(Ⅰ)全不是白色的球. (Ⅱ)恰有两个白色的球.
(Ⅲ)至少有两个白色的球. (Ⅳ)至多有两个白色的球.
(Ⅴ)颜色相同. (Ⅵ)不考虑球的颜色.
答案是:①当M=2时,
(Ⅰ)83. (Ⅱ)3×22×8. (Ⅲ)3×22×8+23.
(Ⅳ)3×22×8+3×2×83+83(或103-23). (Ⅴ)23+83. (Ⅵ)103.
②当M=4时,将上面的2→4,8→6即可.
,可求出其排列数.
问题恰有两个白色球的答案中为什么是3倍的22×8,而不是1倍或6倍的?
提示根据加法原理.
定理4 从n个不同元素中,无放回地取出m个(m≤n)元素进行排列(简称为选排列)共有
(或)表示,即
特别地,当m=n时的排列(简称为全排列)共有
n·(n-1)(n-2)·…·3·2·1=n!
(或)表示,即
Pn=n!,
并规定0!=1.

定义2 从n个不同元素中,每