第二章§4分块矩阵.ppt

§4 分块矩阵
在处理较高阶数的矩阵时,对于求逆矩阵或者
其他需要,常把一个大矩阵看成是由若干个小矩阵
组合而成,这些小矩阵可称为大矩阵的子块或者子
阵. 用子块来表示矩阵的方法称为矩阵的分块表示,
这样不仅使原矩阵显得结构简单又清晰,而且可以
简化运算过程.
分块矩阵的概念
分块矩阵的运算
常用的分块法
Note :
分块矩阵只是形式上的矩阵;
分块法的优越之处是:
把大矩阵的运算化为小矩阵的运算.
矩阵分块后,能突出该矩阵的结构,从而可利用
它的特殊结构,使运算简化.
可为某些命题的证明提供方法.
分块矩阵的概念
一个矩阵A 被纵线和横线
分成若干个低阶矩阵,每个低阶矩阵称为矩阵A
的子块,以所生成的子块为元素的矩阵称为矩阵
A 的分块矩阵。
定义
例如
得到4个子块:
以这些子块为元素,于是,得到的按照这种
分法的分块矩阵:
这是一个形式上为的分块矩阵
分块矩阵的概念
对还可以进行其它分法,如下面的两种分法:
分块矩阵的概念
1. 分块矩阵的加法
设矩阵与为同型矩阵,采用相同的分法,有
则
分块矩阵的加法,采用相同分法,对应子块相加.
分块矩阵的运算
2. 分块矩阵的数乘
设为数,对矩阵分块后,得分块矩阵为
则
分块矩阵的数乘,相当于数乘每一个子块.
分块矩阵的运算
3. 分块矩阵的乘法
对的列
的分法与对的行的分法相同,分块成
设为矩阵, 为矩阵,
则
的列数分别等于
的行数, 那么
分块矩阵的运算
其中
分块矩阵的乘法,对左矩阵的列的分法与对右矩
阵的行的分法相同,再按普通矩阵的乘法.
分块矩阵的运算
求
例 21 设
解:
分块法:
把分块成
分块矩阵的运算
则
分块矩阵的运算
因此
在计算两个分块乘积时,可以把子块看作“数”;此例把
4阶矩阵的乘积化为了2阶矩阵的乘积,简化了计算.