全国初中数学竞赛辅导（初2)第11讲 勾股定理与应用.doc

第十一讲勾股定理与应用
在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理.
勾股定理直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
a2+b2=c2.
勾股定理逆定理如果三角形三边长a,b,c有下面关系:
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法.
关于勾股定理,有很多证法,.
证法1 如图2-△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE,BCHK,ACFG,它们的面积分别是c2,a2,,大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和.
过C引CM∥BD,交AB于L,连接BG,
AB=AE,AC=AG,∠CAE=∠BAG,
所以△ACE≌△AGB(SAS).而

所以 SAEML=b2. ①
同理可证 SBLMD=a2. ②
①+②得
SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2,
即 c2=a2+b2.
证法2 如图2-△ABC的两条直角边CA,CB分别延长到D,F,使AD=a,BF=(它的边长为a+b),又在DE上截取DG=b,在EF上截取EH=b,连接AG,GH,
△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC,
所以
AG=GH=HB=AB=c,
∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°,
因此,,正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC,△ADG,△GEH,△HFB)的面积和,即
化简得 a2+b2=c2.

证法3 如图2-,延长CB,自E作EG⊥CB延长线于G,自D作DK⊥CB延长线于K,又作AF, DH分别垂直EG于F,,下述各直角三角形均与Rt△ABC全等:
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.
设五边形ACKDE的面积为S,一方面
S=SABDE+2S△ABC, ①
另一方面
S=SACGF+SHGKD+2S△ABC. ②
由①,②

所以 c2=a2+b2.
关于勾股定理,在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法,我们将在习题中展示其中一小部分,它们都以中国古代数学家的名字命名.
利用勾股定理,在一般三角形中,可以得到一个更一般的结论.
定理在三角形中,锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和,减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍.
证(1)设角C为锐角,如图2-⊥BC于D, ,
AB2=AD2+BD2, ①
在直角三角形ACD中,
AD2=AC2-CD2, ②
又
BD2=(BC-CD)2, ③
②,③代入①得
AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD
=AC2+BC2-2BC·CD,
即
c2=a2+b2-2a·CD. ④
(2)设角C为钝角,如图2-,则CD就是AC在BC(延长线),
AB2=AD2+BD2, ⑤
在直角三角形ACD中,
AD2=AC2-CD2, ⑥
又
BD2=(BC+CD)2, ⑦
将⑥,⑦代入⑤得
AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD
=AC2+BC2+2BC·CD,
即
c2=a2+b2+2a·cd. ⑧
综合④,⑧就是我们所需要的结论

特别地,当∠C=90°时,CD=0,上述结论正是勾股定理的表述:
c2=a2+b2.
因此,我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广).
△ABC中,
(1)若c2=a2+b2,则∠C=90°;
(2)若c2<a2+b2,则∠C<90°;
(3)若c2>a2+b2,则∠C>90°.
勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系,因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用.
例1 如图2-:在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E,作EF⊥AC于F,作FG⊥:AB2=2FG2.
分析注