子群练习题及其解答.doc

子群练****题及其解答

证S3={}的子群一定包含单位元。
ⅰ)S3本身及只有单位元都是子群
ⅱ)包含和一个2一循环的集合一定是子群因
={}, ={}, ={}亦为三个子群
ⅲ)包含及两个3—循环置换的集合是一个子群
, ={}是子群,有以上6个子群,
今证只有这6个子群,
ⅳ)包含及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因不属于此集合
ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群
因
ⅵ)一个集合若出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子群
因
ⅶ)3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群
因若出现则
故有且只有6个子群。

;群的两个子群的交集也是的子群。
证是的两个子群,
显然非空则同时
因是子群,故,同时
所以
故是的子群

,生成的子群包含哪些个元?一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群?
证


从而
群的两个不同的子集会生成相同的子群
生成的子群为{}
生成的子群为{}
,循环群的子群也是循环群。
证=()是循环群,是的子群
设,而时。
任意则因而

因,所以是循环群.

5. 找出模12的剩余类加群的所有子群
证剩余类加群是循环群故其子群是循环群.
={}
(ⅰ)
(ⅱ)
(ⅲ)即
(ⅳ) 即
(ⅴ) 即
(ⅵ) ([6]) 即
有且只有以上6个子群.
,并且的每一个元的阶都有限,证明,作成子群的充要条件:推出
证必要性显然
充分性推出,(*)所以只证推出即可.
,的阶有限设为
即
所以
由(*) 可知,因而
这样作成的子群.

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