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几个著名大数定律的证明及应用
2007年8月
第19卷第4期
石家庄职业技术学院
JournalofSiazhuangVocationalTechnologyInstitute


文章编号:1009—4873(2007)04—0004—05
几个着名大数定律的证明及应用
路庆华
(石家庄信息工程职业学院基础部,河北石家庄050035)
摘要:大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性,它是随机现象统
计规律性的具体表现,介绍了几种常用大数定律及其证明方法,并分析了它们在理论和实际中的应用.
关键词:大效定律;随机变量;数学期望;概率
中图分类号::A
1引言
概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律
的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件

统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳
定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定

现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的
,无论个别随机个体以及它们在试
验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平
均效果与每一个体的特征无关,
入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含
义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是大数
定律要研究的问题.
2几个大数定律及其证明
在介绍大数定律之前,先介绍几个相关定义:
定义1设￡(n=1,2,…)为概率空间(n,
F,P)上定义的随机变量序列(简称随机序列),若
存在随机变数,使对任意￡>0,恒有:
limP{l￡一l≥￡}=0或^—+∞
limP{I￡一I≤￡f=1,
则称随机序列{}依概率收敛于随机变量(也可
以是一个常数),并用下面的符号表示:
lim~.=(P)或￡一.—
+∞
定义2设{￡}为一随机序列,数学期望
E(￡)存在,令=1∑,若Ii[一E()]=
0(P),则称随机序列{￡}服从大数定律,或者说大
数法则成立.
定义3设{F(z)}是分布函数序列,若存在
一
个非降函数F(x),对于它的每一连续点z,都有
limF(z)=F(z),F(z)F(z),则称分布函
数序列{(z)}弱收敛于F(z).
定义4设(z)(n=1,2,3,…),F(x)分别
是随机变量￡(n=1,2,3,…)及的分布函数,若
F(z)F(z),则称{￡}依分布收敛于,亦记
为￡,且有:(1)若￡-二一,则毛;(2)
Dr
设c为常数,则-二一c的充要条件是c,
逆极限定理:设特征函数列{(t)}收敛于某
一
函数f(t),且f(t)在t=0时连续,则相应的分
布函数列{F(z)}弱收敛于某一分布函数F(z),
而且f(t)是F(z)的特征函数.
车比雪夫不等式:设是一个随机变量,它的数
学期望为a,方差为,则对任意的正常数e恒有:
一2
P{l一日l≥￡}≤,(1)
￡一
.
2
或有P{l一日l<￡}≥1一.(2)
￡一
称(1)式或(2)式为车比雪夫不等式.
这个不等式可解释为:对任意给定的正常数￡,
可以作出两个区间(一oo,a一￡)和(n+￡,+oo).(1)
式表示,在一次试验中,随机变量的取值落在(一
oo
,n一￡)U(n+￡,+oo)的概率小于等于d/￡.
牧稿日期:2007一O4—3O
作者简介:路庆华(1963一),男,河北石家庄人,石家庄信息职业学院剐教授,从事数学教学研究工作
第4期路庆华:几个着名大数定律的证明及应用5
大数定律形式有很多,我们仅介绍几种最常用
的大数定律.
定理1【?(车比雪夫大数定律)
设随机变量1,2,…,,…相互独立,它们的
数学期望依次为a.,a2,…,a,…,方差依次为仃;,
仃;,…,仃,…而且存在正常数k,使得对一切i=1,
2,…,有仃;<k,则对任意给定的正常数￡,恒有
-ImP{ni=l￡』ni=1nfl<e
证设=.=『1∑￡,则的数学期望和方差分
别为:糜=Eni
=l￡)=骞E￡=砉
庾=.(骞￡)=-~i=l.￡=-~i=l
由车比雪夫不等式,对任意给定的正数e,有
≥P骞￡一耋nff<e}=
P{I季一露I<￡}≥1一等=
∑仃;
1一三三}了>1一nk/n￡=1一k/n~,.￡.
叭≥P骞￡一骞nff<e}>一k.
对不等式取极限,则得
一
limP
i=1￡一f<e
推论1设随机变量.,,…,,