泊松分布及其应用研究.docx

湖南科技大学
信息与电气工程学院
《课程论文》
题目: 泊松分布及其应用研究
专业: 通信工程
班级: 13级3班
姓名: 黄夏妮
学号: 1304040322
目录
摘要………………………………………………………………1
泊松分布的概念…………………………………………………2
计数过程为广义的泊松过程……………………………………4
泊松分布及泊松分布增量………………………………………5
泊松分布的特征…………………………………………………5
泊松分布的应用…………………………………………………6
基于MATLAB的泊松过程仿真……………………………………8
参考文献…………………………………………………………12
摘要
作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。
在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
二、泊松分布的概念:
定义1 设随机变量的可能取值为且为常数。
则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X ~ D(λ) 。
定义2 设ε是任意一个随机变量,称是ε的特征函数。
主要结论:
定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。
证明设X 是一随机变量,若存在,则称它为X的方差,记作D( X) ,即。设X服从泊松分布D ( X) ,即有:

则
从而
故
定理2 设随机变量服从二项分布,其分布律为
。
又设是常数,则。
证明由得:
显然,当k = 0 时,故。当k ≥1 且k →∞时,有
从而,故。
定理3 设是服从参数为λ的泊松分布的随机向量,则:

证明已知的特征函数为,故的特征函数为:
对任意的t ,有。
于是。
从而对任意的点列,有。
但是是N (0 ,1) 分布的特征函数,由于分布函数列弱收敛于分布函数F( x)的充要条件是相应的特征函数列{Φn ( t) } 收敛于F( x) 的特征函数Φ( t)。所以成立;又因为是可以任意选取的,这就意味着成立。
三、计数过程为广义的泊松过程

设为一随机过程, 如果是取非负整数值的随机变量,且满足s < t时,,则称为计数过程。
将增量,它表示时间间隔内出现的质点数。“在内出现k个质点”,即是一随机事件,其概率记为总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。

计数过程称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件:
(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;
(2);
(3)对于充分小的其中常数,称为过程的强度。
(4)对于充分小的Δt
亦即对于充分小的,在或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。了解泊松过程,就很容易去了解泊松分布的相关性质,其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔内出现质点数目的计数。
四、泊松分布及泊松分布增量

在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件,我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流。若事件流具有平稳性、无后效性、普通性,则称该事件流为泊松事件流(泊松流) 。
例如一放射性源放射出的α粒子数;某电话交换台收到的电话呼叫数;到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数;等这些事件都可以看作泊松流。

(1)泊松分布的概率:
对泊松流,在任意时间间隔(0, t)内,事件出现的次数服从参数为λt的泊松分布,λ称为泊松流的强度。
设随机变量X所有可能取的值为0, 1, 2, ⋯,且概率分布为:
其中是常数,则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X~P (λ)。
(2)泊过分布增量的概率:
由上式易知增量的概率分布是参数=的泊松分布,且只与时间有关。
:
由泊松分布知
特别地,令,由于假设N (0) = 0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为:
泊松过程的强度λ(常数)等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。即对泊松分布有:
五、泊松分布的特征
(1)泊松分布是一种描述和分析