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等差数列复****课
高三(1) 李赟
基础梳理
1. 等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用d表示.
2. 等差数列的通项公式
一般地,对于等差数列{an}的第n项an,有an= a1+(n-1)d .这就是等差数列{an}的通项公式,其中a1为首项,d为公差.
3. 等差中项
如果三个数a, A ,b组成的数列是等差数列,那么,把叫做a和b的等差中项.
4. 等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+ (n – m )d (n ,m ∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且p +q=m +n (p, q, m ,n ∈N*),则 ap +a q= am+ an.
典例分析
题型一等差数列的基本运算
5. 等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和.
6. 等差数列的前n项和公式与函数的关系
数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f(n)是n的二次函数且常数项为0 ,即Sn= an2+bn.
7. 在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值; 若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
等差数列的和的基本运算
题型二等差数列的判定
①an-an-1=d(n∈N*且n≥2,d为常数)或an+1-an=d(n∈N*);
②an+1+an-1=2an(n∈N*且n≥2);
③an=kn+b(k,b为常数);
④Sn=An2+Bn(A,B为常数).
学后反思
(1)数列{an}是等差数列
(2)判断或证明数列是等差数列的方法有:
①定义法: ( ,d是常数) 是等差数列;
②中项法: ( ) 是等差数列;
③通项公式法: ( 是常数) 是等差数列;
④前项和公式法: ( 是常数, )
是等差数列.