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文档列表 文档介绍
Chapter1 线性规划 (Linear Programming)
LP的数学模型
图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论-人工变量法
对偶理论
LP模型的应用
本章主要内容:
线性规划问题的数学模型
1. 规划问题
生产和经营管理中经常提出如何合理安排,使人力、物力等各种资源得到充分利用,获得最大的效益,这就是规划问题。
线性规划通常解决下列两类问题:
(1)当任务或目标确定后,如何统筹兼顾,合理安排,用最少的资源(如资金、设备、原标材料、人工、时间等)去完成确定的任务或目标
(2)在一定的资源条件限制下,如何组织安排生产获得最好的经济效益(如产品量最多、利润最大.)
线性规划问题的数学模型
例 1. 1 生产计划问题
胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价150元。椅子售价80元,生产桌子和椅子需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时。该厂每月可用木工工时为180小时,油漆工工时为90小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大?
线性规划问题的数学模型
解:将一个实际问题转化为线性规划模型有以下几个步骤:
(1)   确定决策变量:决策变量是模型要决定的未知量,也是模型最重要的参数。对简单的模型,如上例,决策变量是显而易见的。但对较复杂的问题,决策变量的定义就不那么简单了。在本例中,家具厂要确定柜子和桌子的生产数量,因此可定义:x1 = 生产桌子的数量,x2 = 生产椅子的数量。
线性规划问题的数学模型
(2) 确定目标函数:目标函数决定线性规划问题的优化方向,是线性规划模型的重要组成部分。很明显,家具厂的目标是使销售收入最大,更具体一点,是使两种产品售价与产量的乘积的总和最大,因此目标函数可写为:
(3) 确定约束方程:如果家具厂可以随意选择生产桌子和椅子的数量,他们的销售收入可以随意大。而这实际是不可能的,因为任何生产都会受到种种客观条件的限制。一个正确的模型应通过约束方程来反映这些客观条件。本例中的限制条件是每月可用的木工和油漆工的工时不能超过180和90小时。这两个条件可由以下方程表示:
max z = 150x1 + 80x2
线性规划问题的数学模型
将以上几部分结合起来就得到反映家具厂经营活动的完整的数学模型:
max z = 150x1 + 80x2
. 4x1 + 3x2  180
2x1 + x2  90 ()
x1, x2  0
4x1 + 3x2  180 2x1 + x2  90
(4) 变量取值限制:一般情况下,决策变量只取正值(非负值)。因此,模型中应有变量的非负约束。在本例中,非负约束为x10,x2  0。
线性规划问题的数学模型
某工厂计划生产甲、乙两种产品。这些产品需要消耗A、B、C三种原材料。生产每件产品对各种资源的消耗量、工厂拥有各种资源的数量以及每件产品所能获得的利润如下表,工厂决策者应如何安排生产计划,可以使总的利润最大?
消耗量
原材料


资源拥有量
A
1
2
8
B
4
0
16
C
0
4
12
单位产品利润
2
3
线性规划问题的数学模型
解:设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量,在资源限量的条件下,它们必须同时满足下列的约束条件。
对原材料A:x1+2x2 ≤8
对原材料B:4x1 ≤16
对原材料C:4x2 ≤12
该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下,确定甲、乙两种产品的产量,以获得最大的利润,因此,目标函数可表示为:
maxZ = 2x1+3x2
线性规划问题的数学模型
于是,该问题的数学模型可表示为:
max Z = 2x1 + 3x2
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
.
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1 ≤ 16
4x2 ≤ 12
线性规划问题的数学模型
假定一个成年人每天需要从食物中获得3000KJ的热量、55g的蛋白质和800mg的钙。如果市场上只有四种食品可供选择,它们每千克所含的热量和营养成分和市场价格见下表。问如何选择才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小?
序号
食品名称
热量(卡路里)
蛋白质(克)
钙(mg)
价格(元)
1
猪肉
1000
50
400
14
2
鸡蛋
800
60
200
6
3
大米
900
20
300
3
4
白菜
200
10
500
2

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  • 时间2018-04-21