大学生数学竞赛试题集.doc

大学生数学竞赛培训暑期作业
极限与导数
一、极限
1、(第一届预赛第二题,2009),其中是给定的正整数;
2、(第二届预赛第一(1)题,2010)设,其中,求;
3、(第二届预赛第一(2)题,2010)求;
4、(第三届预赛第一(1)题,2011);
5、(第三届预赛第一(2)题,2011),求;
6、(第四届预赛第一(1)题,2012)求极限.
二、导数
1、(第二届预赛第二题,2010)设函数在上具有二阶导数,并且,
,且存在一点,使得.
证明:方程在恰有两个实根.
2、(第三届预赛第三题,2011)设函数在上具有连续的三阶导数,且
. 求证:在内至少存在一点,使得.
3、(第四届预赛第四题,2012)设函数二阶可导,且,
求,其中是曲线上点处的切线在轴上的截距.
提示与答案:
一、极限
1、用第二个重要极限,;
2、;
3、用的麦克劳林展开,;
4、拆成两个极限,;
5、乘以,;
6、夹逼原理,.
二、导数
1、(证存在性时)凹函数的性质,零点定理,(证恰有两个时)反证法.
2、麦克劳林公式,最值定理,介值定理.
3、等价无穷小替换,麦克劳林展开.
不定积分
不定积分是导数(微分)的逆运算,但实践已经证明,前者的难度远远超过后者。原因是:(1)没有适用于一切初等函数的求不定积分的方法;(2)许多初等函数的原函数不是初等函数,如(为正整数),还有等。我们有计算不定积分的两种基本方法(不是万能的)——换元法和分部积分法,对一些特定类型的积分有专用的方法(可参见本期金本清专栏),这样的方法程式化,但可能不是最简单的。解决不定积分的基本思路是化繁为简,最终归结为基本公式,所以积分基本公式必须熟记。出现高数数学竞赛中的不定积分不仅需要上述两种基本方法,大部分还需要一些技巧,我们平时对这些技巧不太熟练。但参加竞赛就应该掌握下面的不定积分的计算:
一、考察不定积分的概念与性质
1、设,求;
2、设,求;
3、已知,试求函数.
二、利用基本积分法求不定积分
1、利用凑微分法(第一换元法)求不定积分
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7)
2、利用第二换元积分法求不定积分
(1)三角代换求下列积分
①②③
(2)倒代换(即令)求下列积分
①②③
3、指数代换(令则)
(1) (2)
4、利用分部积分法求不定积分
(1) (2)
(3) (4)
(5)
5、建立下列不定积分的递推公式
(1) (2)
三、有理函数的积分
1、求下列不定积分
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
四、简单无理函数积分
1、 2、
五、三角有理式积分
1、 2、 3、
4、 5、 6、
六、含有反三角函数的不定积分
1、 2、
七、抽象函数的不定积分
1、 2、
八、分段函数的不定积分
1、设求. 2、
定积分
比较定积分大小
比较定积分和的大小
比较定积分和的大小
利用积分估值定理解题
一、估值问题
1、试估计定积分的值;2、试估计定积分的值
二、不等式证明
1、证明不等式:; 2、证明不等式:
三、求极限
1、 2、
关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题
1、求下列导数:
(1);
(2)由方程确定的隐函数的导数
2、设在上连续且满足,求
3、设为关于的连续函数,且满足方程,求及常数.
4、求下列极限:
(1) (2)
5、设是连续函数,且,求.
6、已知且,求及
定积分的计算
一、分段函数的定积分
1、设求; 2、求定积分
二、被积函数带有绝对值符号的积分
1、求下列定积分:
(1) (2)
2、求定积分的值
三、对称区间上的积分
1、设在上连续,计算
2、设在上连续,且对任何有,计算
3、计算积分
4、设在区间上连续,为偶函数,且满足条件(为常数).
(1)证明:
(2) 利用(1)的结论计算定积分
四、换元积分法
1、求下列定积分:
(1) (2) (3)
五、分部积分
1、设有一个原函数为,求
2、 3、
积分等式的证明
一、换元法(适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件)
1、若函数连续,证明:
(1)
(2)
(3)
2、设连续,求证,并计算
3、设连续,且关于对称,,z证明:

(提示:关于对称,即)
二、分部积分法(适用于被积函数中含有或变上限积分的命题)
例:设连续,,证明:

三、构造辅助函数法(适用于证明在积分限中至少存在一点或使等式成立的命题)
解题思路:(1)将或改成,移项使等式一端为零,则另一端即为所作的辅助函数或。
(2)验证满足介值定理