四川绵阳市2018年4月高三数学(文理)三诊参考答案与评分标准.docx

绵阳市高2015级第三次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
ACBDD BA
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
15. 16.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.
:(Ⅰ)由已知a1an=S1+Sn,可得
当n=1时,a12=a1+a1,可解得a1=0,或a1=2, ……………………………1分
当n≥2时,由已知可得a1an-1=S1+Sn-1,
两式相减得a1(an-an-1)=an.……………………………………………………3分
若a1=0,则an=0,此时数列{an}的通项公式为an=0. ……………………4分
若a1=2,则2(an-an-1)=an,化简得an=2an-1,
即此时数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an=2n.
∴综上所述,数列{an}的通项公式为an=0或an=2n.………………………6分
(Ⅱ)因为an>0,故an=2n.
设bn=,则bn=n-5,显然{bn}是等差数列,…………………………8分
由n-5≥0解得n≥5,…………………………………………………………10分
∴当n=4或n=5时,Tn最小,最小值为T5==-10.……………12分
:(Ⅰ)由题得P(270≤X≤310)==,
设在未来3年里,河流的污水排放量X∈的年数为Y,
则Y~B(3,).…………………………………………………………………2分
设事件“在未来3年里,至多有一年污水排放量X∈”为事件A,
则P(A)=P(Y=0)+P(Y=1)=.
∴在未来3年里,至多1年污水排放量X∈的概率为.……5分
(Ⅱ)方案二好,理由如下: ………………………………………………6分
由题得P(230≤X≤270)=,P(310≤X≤350)=. …………………7分
用S1,S2,S3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.
则S1=. ………………………………………………………………8分
S2的分布列为:
S2
2
62
P


E(S2)= 2×+62×=.………………………………………………10分
S3的分布列为:
S3
0
10
60
P



E(S3)=0×+10×+60×=.
∴三种方案中方案二的平均损失最小,所以采取方案二最好. ………12分
:(Ⅰ)在菱形ABCD中,AB//CD,
∵ CD面CDPN,AB面CDPN,
∴ AB//面CDPN. ………………………………………………………………3分
又AB面ABPN,面ABPN∩面CDPN=PN,
∴ AB//PN.………………………………………………………………………6分
P
D
N
C
A
B
x
M
y
z
(Ⅱ)作CD的中点M,则由题意知AM⊥AB,
∵ PA⊥面ABCD,
∴ PA⊥AB,PA⊥AM.
如图,以A点为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
设AB=2,
则B(2,0,0),C(1,,0),D(-1,,0),
N(0,0,2),
∴=(-3,,0),=(1,-,2),=(-2,0,0).…………7分
设平面BDN的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则由n1•=0,n1•=0,得
令x1=1,则y1=,z1=1,即n1=(1,,1), …………………………9分
同理,设平面DNC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
由n2•=0,n2•=0,得
令z2=1,则y2=,x2=0,即n2=(0,,1),…………………………11分
∴ cos<n1,n2>==,
即二面角B-DN-C的余弦值为. ………………………………………12分
:(Ⅰ)设F(c,0),由题意可得,即yM=.
∵ OH是△F1F2M的中位线,且OH=,
∴|MF2|=,即=,整理得a2=2b4.①…………………………2分
又由题知,当Q在椭圆E的上顶点时,△F1F2Q的面积最大,
∴,整理得bc=1,即b2(a2-b2)=1,②…………………………4分
联立①②可得2b6-b4=1,变形得(b2-1)(2b4+b2+1)=0,
解得b2=1,进而a2=2,
∴椭圆E的方程为. ……………………………………………5分
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由对称性可知D(x1,-y1),B(x2,-