2.41相似多边形及位似--知识讲解.doc

--知识讲解
【学****目标】
1、掌握相似多边形的性质及应用;
2、了解图形的位似,知道位似变换是特殊的相似变换,能利用位似的方法,将一个图形放大或缩小;
3、了解黄金分割值及相关运算.
【要点梳理】
要点一、相似多边形
相似多边形的性质:
(1)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
(2)相似多边形的周长比等于相似比.
(3)相似多边形的面积比等于相似比的平方.
要点诠释:
用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况:
(1)对应角都相等的两个多边形不一定相似,如:矩形;
(2)对应边的比都相等的两个多边形不一定相似,如:菱形;
(3)边数相同的正多边形都相似,如:正方形,正五边形.
要点二、位似
: 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
:
(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上;
(2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比;
(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释:
(1)位似图形与相似图形的区别:位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未
必能构成位似图形.
(2)位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点
为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同:
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后,虽然对应位置改变了,但大小和形状没有改变,即两个图形是全等的;而位似变换之后图形是放大或缩小的,是相似的.
4. 作位似图形的步骤
第一步:在原图上找若干个关键点,并任取一点作为位似中心;
第二步:作位似中心与各关键点连线;
第三步:在连线上取关键点的对应点,使之满足放缩比例;
第四步:顺次连接各对应点.
要点诠释:
位似中心可以取在多边形外、多边形内,或多边形的一边上、或顶点,下面是位似中心不同的画法.
要点三、黄金分割
定义:如图,将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB,若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比,即(此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项),则P点就是线段AB的黄金分割点(黄金点),这种分割就叫黄金分割.
要点诠释:
:设AB=1,AP=x,则BP=
∵
∴
∴
∴(舍负)
:顶角为36°的等腰三角形,它的底角为72°,恰好是顶角的2倍,人们称这种三角形为黄金三角形.
黄金三角形性质:底角平分线将其腰黄金分割.
【典型例题】
类型一、相似多边形
,矩形草坪长20m,宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路,小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗?为什么?
A
B
C
D
E
F
G
H
【答案与解析】
因为矩形的四个角都是直角,所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.
,
而,∴
∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等,因而它们不相似.
【总结升华】两个边数相同的多边形,必须同时满足“对应边的比都相等,对应角都相等”这两个条件才能相似,缺一不可.