第2章控制系统的数学模型
控制系统的时域数学模型——微分方程
拉普拉斯变换基础
控制系统的复数域数学模型——传递函数
控制系统的动态结构图
控制系统的重要传递函数
解题示范
小结
控制系统的时域数学 模型——微分方程 微分方程是在时域中描述系统(或元件)动态特性的数学模型。利用微分方程可以得到其它形式(例如传递函数、结构图等)的数学模型,因此它是数学模型的最基本形式。 下面通过几个典型的例子来学****系统微分方程的建立方法。
【例题2-1】 R-L-C电路系统如图2-1所示,ur(t)为输入电压,uc(t)为输出电压,试列出ur(t)和uc(t)之间的微分方程。
图2-1 R-L-C电路系统
解(1) 该系统为电学系统,遵循电学系统的相关规律。 (2) 确定输入量为ur(t),输出量为uc(t),中间变量为i(t)。 (3) 电路按集中参数考虑,且忽略输出端负载效应。根据基尔霍夫定律,可得 (4) 列出中间变量的表达式:
(5) 消去中间变量i,可得 (6) 整理成标准型,令T1= ,T2=RC,则方程化为 (2-1)
【例题2-2】弹簧-质量-阻尼机械系统如图2-2所示。试求该系统在外力F(t)作用下,m的位移y(t)与外力F(t)的微分方程。
图2-2 弹簧-质量-阻尼机械系统
解(1) 确定输入量为F(t),输出量为y(t),作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff (t),均作为中间变量。 (2) 设系统按线性集中参数考虑,且当无外力作用时,系统处于平衡状态。 (3) 按牛顿第二定律写原始方程,即
(4) 写中间变量与输出变量的关系式:其中k为弹簧的弹性系数,f为阻尼系统的阻尼系数。 (5) 将中间变量的方程式代入原始方程,消去中间变量,得
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