第5章线性系统的频域分析法
频率特性
典型环节的频率特性
系统的开环频率特性
奈奎斯特稳定判据的应用
控制系统的频域性能指标——稳定裕度
闭环频率特性
频率法系统分析
解题示范
小结
频率特性 频率特性和传递函数及微分方程一样,都是系统的数学模型,表征系统的运动规律,三种模型也可以相互转化。
频率特性的定义及特点 线性定常系统结构图如图5-1所示。G(s)为系统的传递函数,将G(s)中的s换成jω,把复变量s的函数变换为频率ω的复数函数,即频率特性用 G(jω)表示为 G(jω)=G(s)|s=jω 频率特性G(jω)为复数函数,其对应幅值和相位分别是ω的函数。频率特性又分为幅频特性A(ω)=|G(jω)|和相频特性φ(ω)=∠G(jω),或者表示为实频特性Re(ω)=Re[G(jω)]和虚频特性Im(ω)=Im[G(jω)]。
图5-1 结构图
当系统的输入信号为余弦函数r(t)=r0 cosωt时,对应系统的稳态输出为 c(t)=r0|G(jω)|cos[ωt+∠G(jω)]=r0A(ω)cos[ωt+φ(ω)] 由上式可得,频率特性是指线性系统在弦函数的作用下,稳态输出与输入的复数之比对频率的关系特性。它反映了系统对弦函数信号的三大传递能力:同频、变幅、相移。
证明如下: 线性定常系统传递函数为 当输入信号r(t)为函数sinωt和cosωt的线性组合时,可写成如下形式: r(t)=r0 cos(ωt+φ) 为方便起见,假设φ=0,则
则输出为
反拉氏变换得其中:
对于稳定的系统,特征根都具有负实部,因此c(t)的第一部分为暂态分量,最终随时间衰减为零。G(-jω)与G(jω)互为共轭复数,即 G(jω)=|G(jω)|ej∠G(jω) G(-jω)=|G(jω)|e-j∠G(jω) 稳态输出为
频率特性的几何表示方法 在工程分析和设计中,通常把频率特性画成曲线,从曲线出发进行研究。频率特性表示方法如下: 1. 极坐标图 把频率ω看成参变量,将频率特性G(jω)表示在复数平面上,当ω从0→∞时,由相应矢量的矢端连成的曲线即为频率特性曲线。
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