2-2 标准正交基与向量的正交化.ppt

哈尔滨工程大学理学院
矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
书后要求的****题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《矩阵论教程》国防工业出版社 2012
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作业要求
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授课预计
(10学时)
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4
第二章内积空间与赋范线性空间
内积空间
标准正交基与向量的正交化
正交子空间
向量范数
5
矩阵范数
6
向量范数与矩阵范数的相容性
教学内容和基本要求
2, 理解内积空间的标准正交基,会用施密特正交化方法构
造标准正交基;
3, 理解正交子空间及其正交补的概念;
1,熟练掌握内积的计算方法,知道度量矩阵及其基本性质,
理解内积空间的概念;
5, 理解谱半径的概念,掌握谱半径的相关性质;
重点: 施密特正交化方法;正交子空间及其正交补;
算子范数;相容性
难点: 正交基及子空间的正交关系,算子范数及其与
向量范数的相容性
教学内容和基本要求
4, 理解向量范数的概念;理解矩阵范数的概念,掌握算
子范数,会求常用的算子范数,并掌握矩阵范数与向量范数
的相容性;
定义1
设V是酉(欧氏)空间,x∈V,称为x
,则称x为单位向量。
标准正交基与向量的正交化
§
向量的度量性质
由于向量与其自身的内积满足,故可以
利用它定义向量的模(或范数),并将向量间的夹
角、正交等概念推广到一般的内积空间。
的长度(范数,模)。
定理1
设(x,y)是酉(欧氏)空间V的内积,则
Cauchy-Schwarz不等式
证明: 不妨设V为酉空间。
(1)
(2)
不妨设
(2)
不妨设
取
(3)
即
由Cauchy-Schwarz不等式
因此利用内积、范数及其性质可以定义
当( x, y) = 0时, 称x与y正交,记x⊥y.
定义x的长度为:
定义x, y的夹角θ的余弦为:
定义x与y的距离为:
范数
性质
Cauchy-Schwarz不等式知