2-2007-2015年新课标全国卷理——函数与导数.doc

新课标全国卷理函数与导数题
( )
A. B. C. D.
【解析】曲线在点处的切线斜率为,因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以:
答案:D
,则.
【解析】
答案:-1
21.(本小题满分12分)
设函数
(I)若当时,取得极值,求的值,并讨论的单调性;
(II)若存在极值,求的取值范围,并证明所有极值之和大于.
【解析】(Ⅰ),依题意有,故.
从而.
的定义域为,当时,;
当时,;
当时,.
从而,分别在区间单调增加,在区间单调减少.
(Ⅱ)的定义域为,.
方程的判别式.
(ⅰ)若,即,在的定义域内,故的极值.
(ⅱ)若,则或.
若,,.
当时,,
当时,
,所以无极值.
若,,,也无极值.
(ⅲ)若,即或,则有两个不同的实根
,.
当时,,从而有的定义域内没有零点,
故无极值.
当时,,,在的定义域内有两个不同的零点,
由根值判别方法知在取得极值.
综上,存在极值时,的取值范围为.
的极值之和为
.
10、由直线,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为( )
A. B. C. D.

21、(本小题满分12分)设函数,曲线在点处的切线方程为。
求的解析式;
证明:曲线的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心;
证明:曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值,并求出此定值。
:(Ⅰ),
于是解得或因,故.
(Ⅱ)证明:已知函数,都是奇函数.
所以函数也是奇函数,.
可知,函数的图像按向量平移,即得到函数的图像,故函数的图像是以点为中心的中心对称图形.
(Ⅲ)证明:,过此点的切线方程为
.令得,切线与直线交点为.
令得,
的交点为.
从而所围三角形的面积为.
所以,所围三角形的面积为定值.
(12)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值
设f(x)=min{, x+2,10-x} (x 0),则f(x)的最大值为
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
答案:C解析:令2x=x+2x1<0(舍)或x2=2,令2x=10-x即2x+x=10,则2<x<3.
则可知f(x)的大致图象如下图所示.
故f(x)≤6,即选C.
(21)(本小题满分12分)
已知函数
如,求的单调区间;
若在单调增加,在单调减少,证明
<6.
分析:第(1)问考查利用导数求单调区间,属容易题.
第(2)问考查极值点与导函数的关系.
解:(1)当a=b=-3时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x,故
f′(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x +(3x2+6x-3)e-x=-e-x (x3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x.
当x<-3或0<x<3时,f′(x)>0;当-3<x<0或x>3时,f′(x)<0.
从而f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少.
(2)f′(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x +(3x2+6x+a)e-x=-e-x[x3+(a-6)x+b-a].
由条件得f′(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-′(x)=-e-x[x3+(a-6)x+4-2a].
因为f′(α)=f′(β)=0,所以x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β)=(x-2)[x2-(α+β)x+αβ].
将右边展开,与左边比较系数,得α+β=-2,αβ=a-2.
故.
又(β-2)(α-2)<0,即αβ-2(α+β)+4<<--α>6.
(-1,-1)处的切线方程为
(A)y=2x+1 (B)y=2x-1 (C) y=-2x-3 (D)y=-2x-2
解析:∵y′==,∴k=y′|x=-1==2,
∴切线方程为:y+1=2(x+1),即y=2x+1.
答案:A

:函数在R为增函数,
:函数在R为减函数,
则在命题:,:,:和:中,真命题是
(A), (B), (C), (D),
解析:p1是真命题,则綈p1为假命题;p2是假命题,则綈p2为真命题;
∴q1:p1∨p2是真命题,q2:p1∧p2是假命题,
∴q3:(綈p1)∨p2为假命题,q4:p1∧(綈p2)为真命题.
∴真命题是q1,:C
,则
(A) (B)
(C) (D)
解析:当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)3-8=-