普遍定理综合应用.ppt

动力学普遍定理小结
动能定理
积分式
微分式
机械能守恒定律
功率方程
动量定理
积分式
微分式
冲量定理
质心运动定理
动量矩定理
冲量矩定理
刚体定轴转动微分方程
相对质心的动量矩定理
微分式
积分式
刚体平面运动微分方程
矢量方程,运动与外力的关系
标量方程,运动与作功力的关系
动力学问题的类型:
按所需求解的未知量划分
1、已知运动,求力; 2、已知力,求运动;
3、已知部分的运动和力,求未知的运动和力。
按系统的自由度划分
1、单自由度系统
2、两自由度及多自由度系统
鉴于动力学问题的复杂性,动力学普遍定理的理论结构不能提供对所有问题的统一解法,因此需要根据问题的特点,选择或综合使用三个定理。
按约束划分
单处约束或多处约束
B
C
A
专题——动力学普遍定理的综合应用
一、综合使用两类方法的问题举例
例(1)长为2l 的均质杆铰接于A点。开始时,杆自水平位置无初速地开始运动。当杆通过铅垂位置时,去掉铰链使杆成为自由体。(1)试说明在此后的运动中杆的质心轨迹;(2)当杆的质心下降距离h 后,杆一共转动了多少圈?
分析:杆的运动明显地包括两个阶段,从绕点A的定轴转动到脱离点A后的平面运动。前面的运动过程给出了后面运动的初始速度,可用动能定理求出。后面的阶段呢?
第一阶段:定轴转动
解:研究杆AB。
设杆转至铅垂位置时所获得的角速度为,则杆的动能为:
由动能定理可得:
解出:
第二阶段:平面运动
此时,脱离约束的杆只受到自身重力的作用。
即,合外力只有通过其质心的重力。
由刚体平面运动微分方程可知,其质心的加速度为:重力加速度,而其轨迹为:平抛的抛物线。且运动中相对质心的动量矩守恒,所以杆会保持恒定的角速度。
质心下降高度所需要的时间为:
在这段时间内,杆可转过的圈数为:
(圈)
动力学的题目,首先运用所掌握的知识,定性地了解物体运动的基本规律,对正确、快捷地解题具有很好的启发作用。
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
两质量、长度相同的均质细长杆OA和 BC,以光滑铰链A连接, A为杆 AB的中点。系统由图示位置自由释放,试说明两杆随后的运动情况。若在杆 BC的一端与杆OA 的中点D之间连一条细绳,运动过程中,两绳的张力如何?
二、两类方法均可使用(难易相近)的问题举例
例(2):均质圆轮沿斜面无滑动地滚下,求轮心的加速度。已知、、。
解法1:(动量法)刚体平面运动微分方程。
与运动学关系: 联立求解,可得
解法2:(能量法)应用动能定理。
设任意瞬时轮心的速度为,则轮的动能为
将运动学关系代入,可得
由功率方程可得:
由此解出:
这是一个简单的题目:单刚体、单处约束、简单的运动学关系,两类方法均较易求解。但我们还是看到了,前面的方法(动量法)中会涉及所有的约束反力,而且其运动学关系是加速度的关系。
三、适于用能量法求解的问题举例
例(3)均质圆轮A和B的质量均为 m ,半径均为 R 。物块C的质量亦为 m 。A、B、C用轻绳相连系。轮在倾角为的斜面上作纯滚动。轮B上作用有力偶矩为M 的力偶。不计圆轮轴承B处的摩擦。试求物块C 的加速度。
分析:此题与前面的例题相近,只是把原来的小车换成了圆轮A,此外,这里需要考虑轮与斜面的摩擦。如仿照前例的解法:对系统使用动量矩定理,并不方便。因为轮A不是平动,其对B轴的动量矩表达式要复杂些。
另外,如果A、B两轮的半径不相同,则A轮所受的未知摩擦力对B轴也有矩,因摩擦力也是一个未知量,所以仅利用一个动量矩定理的方程就不可解了。
试想将系统拆开,对A使用刚体
平面运动微分方程,对B使用刚体
定轴转动微分方程,对C使用牛顿第二定律,是可解的,但其间所涉及的力与加速度等未知量共计有7个,因此需相同数量的方程(包括运动学关系)来解。计算量较大。
本题的最佳解法是对系统使用动能定理——能量法