二、微分运算法则
三、微分在近似计算中的应用
四、微分在估计误差中的应用
第五节
一、微分的概念
函数的微分
第二章
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
面积的增量为
关于△x 的线性主部
高阶无穷小
时为
故
称为函数在的微分
当 x 在
取
得增量
时,
变到
边长由
其
例如,
既容易计算又是较好的近似值
问题: 一般函数y=f(x)是否也有y=f(x+x)-f(x)=Ax+o(x)? A是什么?如何求?
的微分,
定义: 若函数
在点的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数
而称为
记作
即
在点
可微,
(微分的实质)
由定义知:
定理: 函数
证: “必要性”
已知
在点可微,
则
故
在点的可导,
且
在点可微的充要条件是
在点处可导,
且
即
定理: 函数
在点可微的充要条件是
在点处可导,
且
即
“充分性”
已知
即
在点的可导,
则
说明:
时,
所以
时
很小时, 有近似公式
与
是等价无穷小,
当
故当
例1
解
练****br/>微分的几何意义
当很小时,
则有
从而
导数也叫作微商
切线纵坐标的增量
自变量的微分,
记作
记
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