[研究生入学考试]大一上学期同济版高数第八章平面方程.ppt

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高等数学
第二讲
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第五节
一、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
三、平面的截距式方程
平面及其方程
第八章
本节和下一节我们将以向量和坐标
为工具,讨论平面和直线。
四、两平面的夹角
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①
一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点
且垂直于非零向
称①式为平面的点法式方程,
求该平面的方程.
法向量.
量
则有
故
平面上任一向量均与
垂直。
因为过空间内一点作与已知直线垂直的平面是
唯一的,所以已知平面上的一点及垂直于平面的
一个向量,那么这个平面的位置就完全确定。
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在平面上任取一点
例1
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即
解: 取该平面的法向量为
的平面的方程.
利用点法式得平面的方程
注:,且相互平行.

为变量的三元一次方程.
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此平面的三点式方程也可写成
一般情况:
过三点
的平面方程为
说明:
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平分线(yoz面上),求此平面方程。
例3 已知平面过点(1,2,3)且垂直于y轴与z轴夹角
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二、平面的一般方程
将平面的点法式方程
此方程称为
显然方程②与此点法式方程等价,
②
的平面,
因此方程②
的图形是法向量为
平面的一般方程.
①
展开得
令
方程中
的系数
构成该平面的法向量
得平面的一般式方程
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特殊情形
•当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示
通过原点的平面;
•当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示
• A x+B y+D = 0 表示
• C z + D = 0 表示
• A x + D =0 表示
• B y + D =0 表示
平行于 y 轴的平面;
平行于 z 轴的平面;
平行于 xoy 面的平面;
平行于 yoz 面的平面;
平行于 zox 面的平面.
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例1. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解:
因平面通过 x 轴,
设所求平面方程为
代入已知点
得
化简,得所求平面方程
例2. 求过点M ( 1, 0, 5) 且与xoy面平行的平面方程.
解:由题意设所求平面为
将已知点 M(1 ,0 ,5)代入
所求平面为