毕业论文《初探反函数》.doc

毕业论文《初探反函数》.doc初探反函数
引言
对于函数的性质,如连续性、可导性,能否展开成幂级数进而进行近似计算等性质,人们研究得非常细致和广泛,如果我们能将反函数的有关性质像函数一样研究清楚,就可以直接处理一些有关的计算。本文主要介绍了反函数的两个基本性质和它们的几何意义,即反函数的可导性、可积性,以及它们在数学分析上的计算和应用,最后列举了反函数在实际生活中的一个应用。分析反函数的性质对我们进一步了解反函数有很大的帮助。
1 反函数的基本概念
如果对于函数y=f(x)的每一个确定的值y,自变量x都有唯一确定的值x和y对应,那么,就可以得到一个以y为自变量,以对应的x值为函数的函数,记为x=f (y),这个函数叫做原来函数y=f(x)的反函数****惯上记为y= f (x),反函数的定义域和值域分别为原来函数的值域和定义域.
也可以利用集合和映射的来叙述反函数定义:如果映射f : xy=f(x)是由集合A到集合B的一一映射,那么,它的逆映射f:yx= f (y)所确定的函数x= f (y)叫做函数y=f(x)的反函数****惯上记为y= f (x).反函数的定义域和值域分别是原来函数的值域和定义域,即集合B、A.
如果将函数表达式看成曲线方程,则原函数与反函数的图象关于直线y=x对称的.
2 反函数的微分可导性

反函数求导定理及解析
定理:若函数y=f(x)在点x的邻域连续;且严格单调,f(x)在点x处可导,f (x)0,则函数y=f(x)的反函数x=(y)在点y也可导,并且有公式
(y)= (1 ) 即x (2)
或者变化为f (x)= (3) y (4)
分析:以公式(1)为主,我们对其进行讨论。
a)从自变量来看,公式(1)的左边是以y为自变量,x为因变量,x是y的函数。右边是以x为自变量,y为因变量,y是x的函数。事实上,引入变量无非就是规定了运算的始点和终点。这时,读者要扭转自变量只能是x,而y必是因变量的****惯定势思维。
b) 从函数关系来看,公式(1)的左边是原函数y=f(x)的反函数关系f (x),即x=(y),是函数关系的逆运算。(y)其实质是对运算关系中“”求导。右边很自然是对原函数的原酸关系“f”求导。如果想在右边出现y,则求导后,利用原函数关系,或反函数关系转化,对应起来即可。
c) 利用公式(3)可将对原函数的求导问题转化为对其反函数的求导,从而易于运算,利用已有的导数结论,方便解决新问题。
反函数导数的几何解释
设函数y=f(x)的反函数存在,且f,则其反函数x= f(y)的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线,如图
关于函数y=f(x)在点x处的导数f (x),其几何意义是曲线
y=f(x)在点(x,y)处的切线l关于x轴的斜率,从而有
f=tan,其中是切线l与x轴正向的夹角,同时记
=f,在相应点y处的导数为,
其几何意义是曲线x= f在点(x,y)处的切线l,关于y轴正向的斜率,
从而有=tan。由图可得tan=tan(
即。对于其它的情形,也可以得同样的结果。

例:求反正弦函数y=arcsin x 的导数
解法1:欲求该函数的导数,可考虑使用公式(3)或(4)
<x<1,-,函数y在(-1,1)区间内连续,且严格单调递增,因而它存在反函数x=siny.
由公式(3)或(4)
当时,cos y >0于是有:(arcsin x)=
解法2:
记I=arcsin(x+,由于故sinII(
所以=
=
==
反函数可导的一个充分条件的探讨
在有关微积分的教材中,关于求反函数的导数首先要限定它的直接函数某一区间内是(严格)单调的,即有结论:如果函数x=在某一区间I内(严格)单调、可导,且,则它的反函数y=f(x)在对应区间I内也可导且.
事实上,函数x=(严格)单调这一假设是分别隐含在函数可导且这2个条件之中,即假设函数x=(y)(严格)单调是多余的.

定理1 设函数f(x)在某区间I上连续,则f(x)存在反函数的充分必要件是f(x)在区间I上(严格)单调.
定理2 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且,则函数f(x)在[a,b]上(严格)单调.
证明:显然f(a).这是因为如果f(a)=f(b),有以知条件f(x)在[a,b]上连续,在
(a,b)内可导,则由罗尔定理可知至少存在一点,.
设f(a)<f(b),待证函数f(x)在[a,b]上(严格)单调增加.
假设f(x)在[a,b]上非(严格)单调增加,即存在当时,有f( (f(x)=