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****题1
1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为,质量为,求它的弹性系数。
解:由公式得:
1-2 设有一质量用长为的细绳铅直悬挂着,绳子一端固定构成一单摆,如图所示,假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问:
当这一质点被拉离平衡位置时,它所受到的恢复平衡的力由何产生?并应怎样表示?
当外力去掉后,质点在此力作用下在平衡位置附近产生振动,它的振动频率应如何表示?
(答:,为重力加速度)

图****题1-2
解:(1)如右图所示,对作受力分析:它受重力,方向竖直向下;受沿绳方向的拉力,这两力的合力就是小球摆动时的恢复力,方向沿小球摆动轨迹的切线方向。
设绳子摆动后与竖直方向夹角为,则
受力分析可得:
(2)外力去掉后(上述拉力去掉后),小球在作用下在平衡位置附近产生摆动,加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知:
则即
即这就是小球产生的振动频率。
1-3 有一长为的细绳,以张力固定在两端,设在位置处,挂着一质量,如图所示,试问:
图****题1-3
(1) 当质量被垂直拉离平衡位置时,它所受到的恢复平衡的力由何产生?并应怎样表示?
(2) 当外力去掉后,质量在此恢复力作用下产生振动,它的振动频率应如何表示?
(3) 当质量置于哪一位置时,振动频率最低?
解:首先对进行受力分析,见右图,
( , 。)
可见质量受力可等效为一个质点振动系统,质量,弹性系数。
(1)恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生,大小为,方向为竖直向下。
(2)振动频率为。
(3)对分析可得,当时,系统的振动频率最低。
1-4 设有一长为的细绳,它以张力固定在两端,如图所示。设在绳的位置处悬有一质量为的重物。求该系统的固有频率。提示:当悬有时,绳子向下产生静位移以保持力的平衡,并假定离平衡位置的振动位移很小,满足条件。

图****题1-4
解:如右图所示,受力分析可得
又,,可得振动方程为
即

1-5 有一质点振动系统,已知其初位移为,初速度为零,试求其振动位移、速度和能量。
解:设振动位移,
速度表达式为。
由于,,
代入上面两式计算可得:
;
。
振动能量。
1-6 有一质点振动系统,已知其初位移为,初速度为,试求其振动位移、速度、和能量。
解:如右图所示为一质点振动系统,弹簧的弹性系数为,质量为,取正方向沿轴,位移为。
则质点自由振动方程为(其中)
解得
当,时,
质点振动位移为
质点振动速度为
质点振动的能量为
1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加,试问:
(1) 在什么时候位移最大?
(2) 在什么时候速度最大?
解:,
。
令,得:或,
经检验后得:时,位移最大。
令,得: 或,
经检验后得:时,速度最大。
1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示
试证明
其中,
证明:


设,
则= (其中)
又



又
令
则
1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示
()
试证明
,
其中
解:因为位移是矢量,故可以用矢量图来表示。
由余弦定理知,
其中,。
由三角形面积知,

得
得


故
即可证。