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7-4一阶线性微分方程.ppt

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文档列表 文档介绍

一阶线性微分方程的标准形式:
上方程称为齐次的.
上方程称为非齐次的.
一、线性方程
例如
线性的;
非线性的.
考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程?
是非齐次线性方程
y3x25x
(2)3x25x5y0
是非齐次线性方程
(3)yycos xesin x 
)
,
线
方
(
4
y
x
dx
dy
+
=
10
不
是
性
程
.
齐次方程的通解为
1. 线性齐次方程
一阶线性微分方程的解法
(使用分离变量法)
2. 线性非齐次方程
讨论
两边积分
非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比:
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
实质: 未知函数的变量代换.
作变换
积分得
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
对应齐次方程通解
非齐次方程特解
非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为
例
1
求方程
2
5
)
1
(
1
2
+
=
+
-
x
x
y
dx
dy
的通解
.
:
这
里
1
2
)
(
+
-
=
x
x
P
,
2
5
)
1
(
)
(
+
=
x
x
Q
.
解
由通解公式得
即
]
)
1
(
3
2
[
)
1
(
2
3
2
C
x
x
y
+
+
+
=
.
解
例2
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
方程为线性微分方程.
方程为非线性微分方程.
二、伯努利方程
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.

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