7-7常系数齐次线性微分方程.ppt

一定义
二二阶常系数齐次线性方程解法
三 n阶常系数齐次线性方程解法
四小结与思考题
常系数齐次线性微分方程
回顾I
本章的任意常数是在复数范围内的。
欧拉公式
回顾II
一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程:
方程
y+py+qy=0
称为二阶常系数齐次线性微分方
程,其中p、q均为常数.
如果y1、y2是二阶常系数齐
次线性微分方程的两个线性无关
解,那么
y=C1y1+C2y2
就是它的通解.
将y=erx代入方程
y+py+qy=0
得
(r2+pr+q)erx =0.
由此可见,只要r 满足代数方程
r2+pr+q=0,
函数y=erx就是微分方程的解.
寻找可能的解:
-----特征方程法
二、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程:
方程
y+py+qy=0
称为二阶常系数齐次线性微分方
程,其中p、q均为常数.
如果y1、y2是二阶常系数齐
次线性微分方程的两个线性无关
解,那么
y=C1y1+C2y2
就是它的通解.
-----特征方程法
方程 r2+pr+q=0
叫做微分方程 y+py+qy=0
的特征方程.
特征方程及其根:
特征方程的两个根r1、r2
可用公式
求出.
特征方程的根与通解的关系
有两个不相等的实根 r1、r2
方程ypyqy0的通解
方程r2prq0的根的情况
简要证明:
有两个不相等的实根
特征根为
两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为
有两个不相等的实根 r1、r2
有两个相等的实根 r1r2
特征方程的根与通解的关系
方程ypyqy0的通解
方程r2prq0的根的情况
简要证明:
有两个相等的实根
一特解为
特征根为
得齐次方程的通解为
有两个不相等的实根 r1、r2
有一对共轭复根 r1, 2i
yex(C1cosxC2sinx)
特征方程的根与通解的关系
方程ypyqy0的通解
方程r2prq0的根的情况
有两个相等的实根 r1r2
简要证明:
故excosx和exsinx也是方程的解
因为函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解
函数excosx与exsinx的比值为cotx不是常数
故excosx和exsinx是方程的线性无关解
>>>
第一步写出微分方程的特征方程
r2+pr+q=0
第二步求出特征方程的两个根r1、r2
第三步根据特征方程的两个根的不同情况,
写出微分方程的通解.
求y+py+qy=0的通解的步骤:
有两个不相等的实根 r1、r2
有一对共轭复根 r1, 2i
yex(C1cosxC2sinx)
特征方程的根与通解的关系
方程ypyqy0的通解
方程r2prq0的根的情况
有两个相等的实根 r1r2