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第七章
空间问题的基本理论
4/25/2018
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土木工程与力学学院蒋一萱
主要内容
§ 空间问题的一般理论与基本方程
§ 物体中任一点的应力状态
§ 空间问题的两种简化形式
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土木工程与力学学院蒋一萱
为什么要研究空间三维弹性体?
——有工程的需要:对于复杂的工程问题,由于结构体的形状复杂,受力也多种多样,因而有必要对三维的空间问题予以研究。
——某些可看作平面问题的精细化求解:平面问题只是对某些具有特殊几何与外部载荷特征的(如薄板受面内作用力、柱形体受与轴向无关的载荷等)三维空间问题的简化处理。
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土木工程与力学学院蒋一萱
概述
弹性力学基本方程建立了弹性力学问题的数学模型,为求解弹性力学奠定了基础。虽然这些方程的直接求解十分困难,只有小部分可以得到分析解,这些解已经有了广泛的应用,更为重要的是这些方程的建立为有限元、边界元等数值计算提供了基础。
弹性力学基本方程的求解一般是在一定条件下,对问题进行简化,化简方程再进行求解,简化后一般可分为平面问题,轴对称问题、球对称问题。
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空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。
一、球对称问题
当弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点(过这一点的任一平面都是对称面),这时应力、位移等都对称于这一点,称为球对称问题,球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。
球对称问题
概述
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在球对称问题中,应力、应变、位移等分量都只是径向坐标的函数。
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土木工程与力学学院蒋一萱
概述
如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称与某一轴(过该轴的任一平面都是对称面),这时应力、位移等都对称于这一轴,称为轴对称问题,轴对称问题的弹性体的形状一般是圆柱或半空间。
在轴对称问题中,应力、应变、位移等分量都只是径向坐标ρ、Z的函数,与φ无关。
轴对称问题
ρ
二、轴对称问题
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土木工程与力学学院蒋一萱
一般地,需要从四个方面来考虑:
静力学方面;
几何学方面;
物理学方面;
边界条件。
静力学方面——平衡微分方程
什么是平衡微分方程??
如何建立平衡微分方程??
§ 空间问题的一般理论与基本方程
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§ 空间问题的一般理论与基本方程
x
y
z
o
P
A
B
C
o
x
y
z
o
A
B
m
n
x
y
z
o
P
A
m
n
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§ 空间问题的一般理论与基本方程
x
y
z
o
P
A
B
C
o
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§ 空间问题的一般理论与基本方程
故直角坐标系下的空间问题的平衡微分方程为:
剪应力互等关系:
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