作用在弹性体上的力.doc

第11章能量法
作用在弹性体上的力,在弹性体变形的过程中,其作用点发生位移,力因而作功。根据机械能守恒定理,如果没有能量损失,力所作之功将转变弹性体的应变能。据此,通过计算弹性体的应变能,可以确定弹性体在加力点沿加力方向的位移。但是,这种方法难以确定任意点沿任意方向的位移,也不能确定弹性杆件的位移函数。虚位移原理以及由虚位移原理导出的莫尔积分和基于莫尔积分的图形互乘法,不仅可以用于确定加力点沿加力方向的位移,而且可以确定弹性体上任意点沿任意方向的位移。本章将虚位移原理用于弹性杆件,由此导出计算弹性杆件位移的莫尔积分以及图形互乘法。
§11-1 基本概念
11-1-1 作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功
作用在弹性杆件上的力,其加力点的位移,随着杆件受力和变形的增加而增加,这种情形下,力所作的功为变力功。
FP
Δ
图11-1 力与位移
的线性关系
对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件,作用在杆件上的力与位移成线性关系(图11-1)。这时,力所作的变力功(图11-2a)为
FP
Δ
(a) 变力功
FP
(b) 常力功
Δ′
图11-2 作用在弹性体上的力所作的常力功和变力功
的线性关系
(11-1)
弹性体在平衡力系的作用下,在一定的变形状态保持平衡,这时,如果某种外界因素使这一变形状态发生改变,作用在弹性体上的力,由于加力点的位移,也作功,但不是变力功,而是常力功(图11-2b):
(11-2)
需要指出的是,上述功的表达式(11-1)和(11-2)中,力和位移都是广义的。FP可以是一个力,也可以是一个力偶;当FP是一个力时,对应的位移Δ和Δˊ都是线位移,当FP是一个力偶时,对应的位移Δ和Δˊ都是角位移。
11-1-2 杆件的弹性应变能
杆件在外力作用下发生弹性变形时,外力功转变为一种能量,储存于杆件内,从而使弹性杆件具有对外作功的能力,这种能量称为弹性应变能,简称应变能(elastic energy).
考察微段杆件的受力和变形,应用弹性范围内力和变形之间的线性关系,可以得到微段应变能表达式,然后通过积分即可得到计算杆件应变能的公式。
对于拉伸和压缩杆件,微段的应变能
其中d(Δl)微段的轴向变形量,Δl为杆件的伸长或缩短量:
代入上式后,得到杆件的应变能表达式
(11-3)
对于承受弯曲的梁,忽略剪力影响,微段的应变能为

其中dθ为微段两截面绕中性轴相对转的角度,
代入上式积分后,得到梁的应变能的表达式
(11-4)
对于承受扭转的圆轴,微段的应变能

其中为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角:
代入上式积分后,得到圆轴扭转时的应变能表达式
(11-5)
上述应变能表达式必须在小变形条件下、并且在弹性范围内加载时才适用。
对于一般受力形式,杆件的横截面上同时有轴力、弯矩和扭矩作用时,由于这三种内力分量引起的变形是互相独立的,因而总应变能等于三者单独作用时的应变能之和。于是,有
(11-6)
对于杆件长度上各段的内力分量不等的情形,需要分段计算然后相加:
(11-7)
或者采用积分计算:
(11-8)
*§11-2 互等定理
应用能量守恒原理和叠加原理,可以导出功的互等定理与位移互等定理。
11-2-1 功的互等定理
假设两个不同的力系:和作用在两个相同的梁(或结构)上,在弹性范围内加载和小变形的条件下,有下列重要结论:
力系在力系引起的位移上所作之功,等于力系在力系引起的位移上所作之功。
这一结论称为功的互等定理(reciprocal theorem of work)。这一定理的数学表
达式为
(11-9)
图11-3 功的互等定理
其中,是力系在作用点处沿方向引起的位移;是力系在作用点处沿方向引起的位移。
现在,以图11-3中所示之梁为例,证明如下。
考察两种加载过程:一种是先加后加;另一种是先加再加。
对于线性问题,根据叠加原理,变形状态与加力的顺序无关。因此,两种加力过程所产生的最后变形状态是相同的,故两种情形下所引起的应变能相等,即
(a)
应用能量守恒原理,
(b)
其中,和分别为力和在自身作用点处、沿自身作用线方向引起的位移。
将式(b)代人式(a),即可得到式(11-9)。
11-2-2 位移互等定理
当力系和力系中各自只有一个力和时,功的互等定理表达式式(11-9)变为
(11-10)
如果这两个力在数值上又相等,则由上式得到
(11-11)
这表明:力在点i引起的与力相对应的位移,在数值上等于力在点j引起的与相对应的位移。这就是位移互等定理(reciprocal theorem of displacemen