2012年浙江省高中数学竞赛预测试题.doc

2012年浙江省高中数学竞赛预测试题
参考解答与评分标准
说明:本试卷分为A卷和B卷:A卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题、3道解答题和2道附加题;B卷由本试卷的前20题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题。
选择题(本大题满分50分,每小题5分)
,则下列正确的是( )
A. B.
C. D.
解:因为,所以有正确答案为 A。
,,则下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
解:当时,,,。
又因为。所以。选 C。
,要使函数有定义,则a的取值范围为( )
A.; B. ; C. ; D.
解:函数的定义域为。当时,应有,即;当时,应有,即。因此,选 B。
(不包括边界),且满足,则△ABC一定为( )
;B. 等边三角形;C. 等腰直角三角形;D. 等腰三角形
解:因为,所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。因此选 D。
,则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是( )
A. B. 2 C. D. 4
解:由已知条件可知,,函数图象与轴交点的纵坐标为。令,则
。因此选 A。
,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周)。若AM⊥MP,则P点形成的轨迹的长度为( )
A. B. C. 3 D.
解:建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0),, ,P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP,所以
,即,此为P点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长度为。因此选 B。
,其中,则△ABC的面积为( )
A. B. C. 1 D .
解:依题意,,。
△ABC的面积为。应选A。
8. 在平面区域上恒有,则动点所形成平面区域的面积为( )
A. 4 C. 16 D. 32
解答:平面区域的四个边界点(—1,—1),(—1,1),(1,—1),(1,1)满足,即有
由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。
9. 已知函数在上有两个零点,则m的取值范围为( )
A. B C. D.
解答:问题等价于函数与直线在上有两个交点,所以m的取值范围为。正确答案为C。
10. 设有算法如下:
如果输入A=144, B=39,则输出的结果是( B )
A. 144 B. 3 C. 0 D. 12
解答 B (1)A=144,B=39,C=27:(2)A=39,B=27,C=12:(3)A=27,B=12,C=3:(4)A=12,B=3,C=0。所以A=3。
填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空7分,满分49分)
11. 满足方程所有实数解为。
解答变形得,解得
。
12. 函数的最小正周期为.
解答。
设P是圆上一动点,A点坐标为。当P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹方程为.
14. 直三棱柱,底面是正三角形,P,E分别为,上的动点(含端点),D为BC边上的中点,且。则直线的夹角为__。
解答:因为平面ABC⊥平面,AD⊥BC,所以AD