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定积分的近似计算
我们已经学****了定积分的基本概念和定积分的计算方法,那里所谓的计算方法,是基于原函数的牛顿-莱布尼兹公式。但在许多实际问题中遇到的定积分,被积函数往往不用算式给出,而通过图形或表格给出;或虽然可用一个算式给出,但是要计算它的原函数却很困难,甚至于原函数可能是非初等函数。本实验的目的,就是为了解决这些问题,介绍定积分的“数值积分”,即定积分的近似计算。
所谓定积分的近似计算,就是找到一个适当的计算公式,利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值,来计算定积分的近似值,并作出误差估计。我们知道,定积分在几何上表示曲线,直线及x轴所围成的曲边梯形的面积。定积分近似计算的思想,就是将积分区间分割成许多小区间,然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积,最后将小曲边梯形的面积求和,就得到了定积分的近似值。
观察黎曼和式的收敛性
由定积分的定义知道,定积分就是黎曼和式的极限,因此可以用黎曼和式来近似计算定积分。为计算方便,这里特殊的,将积分区间等分为段,并以小区间中点处的函数值作近似,于是黎曼和式为:,
因而。
计算的黎曼和。
解:输入命令如下:
上述命令是将区间[2, 3]等分为200段,运行求得黎曼和为:。
梯形法
大家可以看出,用上述方法进行的近似计算,其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似,上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式。如果不用矩形而改用梯形来近似,就可以得到定积分的一个较好的近似方法——梯形积分法。具体方法如下:
将区间用等分为n个小区间,小区间的长度为。设,则每个小梯形的面积为,从而得到梯形法的公式为:

。
下面来估计梯形法的误差。第个小曲边梯形的面积为,做变换,则,当在区间上连续时,利用分部积分法可以证明:
。
设为在区间上的最大值,则第个小曲边梯形与相应的梯形面积之差的绝对值估计如下:



于是,梯形法的绝对误差为。
用梯形法近似计算,要求误差不超过。
解:设,则,显然在区间上的最大值为。下面我们根据梯形法利用Mathematica编程,在程序中,定义了等分时的梯形公式,并采用“Do”命令进行循环直到满足精度要求或达到预定的循环次数为止,每次循环要求输出及。输入命令如下:
从运行结果看,循环到100次结束,最后输出“fail”,这表明没有达到精度要求,如把n0的值改为200,再次运行,发现循环到n=130时结束,此时达到精度要求,积分的近似值为:。
抛物线法
梯形法的近似过程是在每个小区间中用直线段来近似被积函数段,即逐段地用线性函数来近似被积函数。为了进一步提高精确度,可以考虑在小范围内用二次函数来近似被积函数,这种方法称为抛物线法,也称为辛普森(Simpson)法。具体方法如下:
用分点,将积分区间n等分(这里要求n为偶数),各分点对应的函数值为,即。我们知道平面上三点可以确定一条抛物线,而相邻的两个小区间上经过曲线上的三个点,则由这三点做抛物线(因此抛物线法必须将区间等分为偶数个小区间),把这些抛物线构成的曲边梯形的面积相加,就得到了所求定积分的近似值。
下面计算在区间上以抛物线为曲边的曲边梯形面积。为此,先计算区间上,以过三点的抛物线为曲边的曲边梯形面积:
,
由得:
故。
取,则上面所求的等于区间上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积。同理可以得到区间上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积:
。
于是,将这个曲边梯形的面积加起来,得到定积分的近似值为(设):
。
上式称为辛普森公式或抛物线公式。用这个公式求定积分的近似值时,其绝对误差可以证明不超过,其中是在区间上的最大值。
用抛物线法近似计算,要求误差不超过。
解:设,可由命令D[f[x],{x,4}]得到的四阶导函数为: ,显然在区间上的最大值为。下面根据抛物线法的思想利用Mathematica编程,在程序中,与例2一样,定义了等分时的抛物线公式,并采用“Do”命令进行循环直到满足要求或达到预定的循环次数为止,每次循环要求输出及。输入命令如下:
从运行结果看,循环到时因达到精度要求结束循环,并得到积分的近似值为:。从例2、例3可以看出,抛物线法比梯形法收敛的要快,这与实际情况也是相符的。
最后,我们再说明一点,在Mathematica内部有一个数值积分的命令“NIntegrate”,例如要计算,我们可以调用命令:

或者我们可以通过基本输入模板直接输入积分符号:,字母“N”是表示输出的结果为实数的形式。。
虽然使用内部的命令计算数值积分非常方便,但是误差估计不明显,而且作为一个大学生,应该要知道隐藏在命令后面的原理。因此掌握本实验介绍的数值积分的原理、公式及编程方法也是很必