CMMP-专注于汽车行业的生产管理系统-华天软件.ppt

级数与多元微积分Series and Calculous in Several Variables
授课教师:胡鹏彦
授课对象:05本科
第十三章函数列与函数项级数
§1 一致收敛性
§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
§1 一致收敛性
一函数列及其一致收敛性
二函数项级数及其一致收敛性
三函数项级数的一致收敛判别法
§1 一致收敛性
定义
设
(1)
函数列(1)也简记作:
是一列定义在同一数集E上的函数, 称为定义在E上
的函数列.
一函数列及其一致收敛性
 fn或 fn, n 1, 2, .
设x0E, 若数列
(2)
收敛, 则称函数列(1)在点x0收敛, x0称为函数列(1)
的收敛点.
§1 一致收敛性
若数列(2)发散, 则称函数列(1)在点x0发散.
在数集D上收敛.
若函数列(1)在数集DE上每一点都收敛, 则称(1)
§1 一致收敛性
对D上每一点x, 都有数列 fn(x)的一个极限值与之
或
对应, 由这个对应法则所确定的D上的函数, 称为函
数列(1)的极限函数. 若把此极限函数记作 f , 则有
使函数列 fn收敛的全体收敛点集合称为函数列
 fn的收敛域.
§1 一致收敛性
函数列极限的N定义: 对每一固定的xD, 任给
正数, 恒存在正数N, 使得当nN时, 总有
注: N的选取依赖于和x.
例1
设 fn(x)  xn, n 1, 2, 为定义在, 上的
函数列, 证明它的收敛域是1, 1, 且有极限函数
§1 一致收敛性
(3)
要证明数列 fn(x)的收敛域为D, 需要证明D中每
一点都是收敛点, 而在D外的点处都发散.
例2
定义在, 上的函数列
的收敛域为无限区间, , 极限函数 f (x)  0.
§1 一致收敛性
定义
设函数列 fn与函数 f 定义在同一数集D上,
若对任何正数, 总存在某正整数N, 使得当nN时,
对一切xD, 都有
则称函数列 fn在 D上一致收敛于 f , 记作
§1 一致收敛性
函数列收敛与一致收敛之间的关系: 一致收敛必
收敛, 反之不一定成立.
注: N的选取仅依赖于, 而与x无关.